函数 ．(Ⅰ) 当时，求证：；（4分）(Ⅱ) 在区间上恒成立，求实数的范围。（4分）(Ⅲ) 当时，求证：）．（4分）

题型：不详难度：来源：

函数 ．
(Ⅰ) 当时，求证：；（4分）
(Ⅱ) 在区间上恒成立，求实数的范围。（4分）
(Ⅲ) 当时，求证：）．（4分）

答案

（I）见解析（II）. （III）见解析

解析

（Ⅰ）构造函数，然后利用导数法研究单调性，进一步得到不等关系；（Ⅱ）把恒成立问题转化为求函数的最值问题，然后利用导数法求解；（Ⅲ）利用放缩法证明不等式
（I）证明:设
则,则,即在处取到最小值,
则,即原结论成立.
（II）解:由得 即,另,
另,则单调递增,所以
因为,所以,即单调递增,则的最大值为
所以的取值范围为.
（III）证明:由第一问得知则
则