解:(Ⅰ)解法一:![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191018/20191018135707-18686.gif) 依题意知方程 在区间(1,2)内有不重复的零点, 由 得 ∵x∈(1,2), ∴![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191018/20191018135708-46174.gif) ∴ ; 令 (x∈(1,2)),则 , ∴ 在区间(1,2)上是单调递增函数,其值域为 , 故a的取值范围是 . ………………………5分 解法二:![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191018/20191018135707-18686.gif) 依题意知方程 即 在区间(1,2)内有不重复的零点, 当a=0时,得 x=0,但0 (1,2); 当a≠0时,方程 的△=1+12a2>0, ,必有两异号根, 欲使f (x)在区间(1,2)上不是 单调函数,方程 在(1,2)内一定有一根,设 ,则F(1)·F(2)<0, 即 (2a+2)(11a+4)<0,解得 , 故 a的取值范围是 . (解法二得分标准类比解法一) (Ⅱ)函数g (x)的定义域为(0,+∞), 当 a≥0时,g (x)在(0,+∞)上单调递增,无单调递减区间; 当 a<0时,g (x)的单调递减区间是 ………………8分 (Ⅲ) ; 依题意 在区间[-1, b]上恒成立, 即 ① 当x∈[-1, b] 恒成立, 当 x=-1时,不等式①成立; 当 -1< x ≤b时,不等式①可化为
② 令 ,由a∈(-∞,-1]知, 的图像是 开口向下的抛物线,所以, 在闭区间上的最小值必在区间的端点处取得, 而 , ∴不等式②恒成立的充要条件是 , 即 , 亦即 a∈(-∞,-1]; 当a∈(-∞,-1]时, , ∴ (b >-1), 即 b2+b-4 ≤ 0; 解得 ; 但b >-1,∴ ; 故 b的最大值为 ,此时 a =-1符合题意. ……………14 分 |