解:(1)当 时, ,定义域是 ,
, 令 ,得 或 . …2分
当 或 时, ,当 时, ,
函数 在 、 上单调递增,在 上单调递减. ……………4分
的极大值是 ,极小值是 .
当 时, ; 当 时, ,
当 仅有一个零点时, 的取值范围是 或 .……………5分 (2)当 时, ,定义域为 . 令 ,
,
在 上是增函数. …………………………………7分 ①当 时, ,即 ; ②当 时, ,即 ; ③当 时, ,即 . …………………………………9分 (3)(法一)根据(2)的结论,当 时, ,即 . 令 ,则有 , . ……………12分
,
. ……………………………………14分 (法二)当 时, .
, ,即 时命题成立. ………………………………10分 设当 时,命题成立,即 .
时,![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191018/20191018144705-81579.gif) . 根据(2)的结论,当 时, ,即 . 令 ,则有 , 则有 ,即 时命题也成立.……………13分
因此,由数学归纳法可知不等式成立. ………………………………14分 (法三)如图,根据定积分的定义, 得![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191018/20191018144707-77324.gif) .……11分
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191018/20191018144707-11420.gif)
,
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191018/20191018144655-82953.gif) ![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191018/20191018144708-16329.gif) ![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191018/20191018144708-19408.gif) ![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191018/20191018144708-82944.gif)
. ………………………………12分
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191018/20191018144708-63082.gif) , 又 , ,
.
. …………………………………14分 |