解:(1)当时,,定义域是, , 令,得或. …2分 当或时,,当时,, 函数在、上单调递增,在上单调递减. ……………4分 的极大值是,极小值是. 当时,; 当时,, 当仅有一个零点时,的取值范围是或.……………5分 (2)当时,,定义域为. 令, , 在上是增函数. …………………………………7分 ①当时,,即; ②当时,,即; ③当时,,即. …………………………………9分 (3)(法一)根据(2)的结论,当时,,即. 令,则有, . ……………12分 , . ……………………………………14分 (法二)当时,. ,,即时命题成立. ………………………………10分 设当时,命题成立,即 . 时,. 根据(2)的结论,当时,,即. 令,则有, 则有,即时命题也成立.……………13分 因此,由数学归纳法可知不等式成立. ………………………………14分 (法三)如图,根据定积分的定义, 得.……11分
,
. ………………………………12分 , 又,, . . …………………………………14分 |