已知，函数，（其中为自然对数的底数）．（1）判断函数在区间上的单调性；（2）是否存在实数，使曲线在点处的切线与轴垂直? 若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

题型：不详难度：来源：

已知，函数，（其中为自然对数的底数）．（1）判断函数在区间上的单调性；（2）是否存在实数，使曲线在点处的切线与轴垂直? 若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

答案

若，则，在区间上单调递增
若，则，函数在区间上单调递减
故不存在，使曲线在
处的切线与轴垂直

解析

解（1）：∵，∴．
令，得．
①若，则，在区间上单调递增.
②若，当时，，函数在区间上单调递减，
当时，，函数在区间上单调递增，
③若，则，函数在区间上单调递减. ……6分
（2）解：
∵，，
由（1）可知，当时，．
此时在区间上的最小值为，即．
当，，，∴．
曲线在点处的切线与轴垂直等价于方程有实数解．
而，即方程无实数解．
故不存在，使曲线在
处的切线与轴垂直……12分