设f(x)=ln(x+1)+ax,(a∈R且a≠0).(Ⅰ)讨论函数f(x)的单调性;(Ⅱ)若a=1,证明:x∈(0,5)时,f(x)<9xx+1成立.
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设f(x)=ln(x+1)+ax,(a∈R且a≠0).(Ⅰ)讨论函数f(x)的单调性;(Ⅱ)若a=1,证明:x∈(0,5)时,f(x)<9xx+1成立.
题型:不详
难度:
来源:
设f(x)=ln(x+1)+ax,(a∈R且a≠0).
(Ⅰ)讨论函数f(x)的单调性;
(Ⅱ)若a=1,证明:x∈(0,5)时,
f(x)<
9x
x+1
成立.
答案
(Ⅰ)函数的定义域为(-1,+∞)
求导函数可得f′(x)=
1
x+1
+a
当a≥0时,
1
x+1
+a>0
,函数单调递增,单调增区间为(-1,+∞);
当a<0时,
1
x+1
+a>0
,函数在(-1,-1-
1
a
)内单调递增,单调增区间为(-1,-1-
1
a
)
1
x+1
+a<0
,函数在(-1-
1
a
,+∞)内单调递减,单调减区间为(-1-
1
a
,+∞);
(Ⅱ)证明:若a=1,f(x)=ln(x+1)+x,
f(x)<
9x
x+1
等价于ln(x+1)+
x
2
-8x
x+1
<0
令g(x)=ln(x+1)+
x
2
-8x
x+1
,则g′(x)=
x
2
+3x-7
(x+1)
2
∵x∈(0,5),∴函数在(0,
-3+
37
2
)上单调递增,在(
-3+
37
2
,5)上单调递减
∴g(x)
max
=ln(
-3+
37
2
+1)+
(
-3+
37
2
)
2
-8•
-3+
37
2
-3+
37
2
+1
<0
∴x∈(0,5)时,
f(x)<
9x
x+1
成立.
举一反三
已知函数f(x)=mx
3
-x
2
+nx+13(m、n∈R).
(1)若函数f(x)在x=-2与x=1时取得极值,求m、n的值;
(2)当m=n=0时,若f(x)在闭区间[a,b](a<b)上有最小值4a,最大值4b,求区间[a,b].
题型:不详
难度:
|
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若函数f(x)的导函数f′(x)=x
2
-4x+3,则函数f(x+1)的单调递减区间是( )
A.(0,2)
B.(1,3)
C.(-4,-2)
D.(-3,-1)
题型:柳州三模
难度:
|
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已知函数f(x)=ax
2
+x-xlnx(a>0).
(1)若函数满足f(1)=2,且在定义域内f(x)≥bx
2
+2x恒成立,求实数b的取值范围;
(2)若函数f(x)在定义域上是单调函数,求实数a的取值范围;
(3)当
1
e
<x<y<1
时,试比较
y
x
与
1+lny
1+lnx
的大小.
题型:不详
难度:
|
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已知函数
f(x)=lnx-
1
2
a
x
2
-2x
(1)若函数f(x)在x=2处取得极值,求实数a的值;
(2)若函数f(x)在定义域内单调递增,求实数a的取值范围.
题型:不详
难度:
|
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已知函数y=f(x)=ln(kx+
1
x
),(k>0)在x=1处取得极小值.
(1)求k的值;
(2)若f(x)在(
1
2
,f(
1
2
))处的切线方程式为y=g(x),求证当x>0时,曲线y=f(x)不可能在直线y=g(x)的下方.
题型:不详
难度:
|
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