已知函数y=f(x)=ln(kx+1x),(k>0)在x=1处取得极小值.(1)求k的值;(2)若f(x)在(12,f(12))处的切线方程式为y=g(x),求
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已知函数y=f(x)=ln(kx+1x),(k>0)在x=1处取得极小值.(1)求k的值;(2)若f(x)在(12,f(12))处的切线方程式为y=g(x),求
题型:不详
难度:
来源:
已知函数y=f(x)=ln(kx+
1
x
),(k>0)在x=1处取得极小值.
(1)求k的值;
(2)若f(x)在(
1
2
,f(
1
2
))处的切线方程式为y=g(x),求证当x>0时,曲线y=f(x)不可能在直线y=g(x)的下方.
答案
(1)
f′(x)=
k
x
2
-1
x(k
x
2
+1)
,
由已知得
f′(1)=
k-1
k+1
=0⇒k=1
.…(3分)
(2)当k=1时
f′(x)=
x
2
-1
x(
x
2
+1)
,
此时y=f(x)在(0,1)单调递减,在(1,+∞)单调递增…(5分)
由于
f′(x)=
x
2
-1
x(
x
2
+1)
,
k=f′(
1
2
)=-
6
5
,
则y=f(x)在
(
1
2
,ln
5
2
)
的切线方程为
y-ln
5
2
=-
6
5
(x-
1
2
)
,即
y=g(x)=-
6
5
x+
3
5
+ln
5
2
…(8分)
当x>0时,曲线y=f(x)不可能在直线y=g(x)的下方⇔f(x)≥g(x)在(0,+∞)恒成立,
令
ϕ(x)=f(x)-g(x)=ln(x+
1
x
)+
6
5
x-
3
5
-ln
5
2
,
ϕ′(x)=
(x-
1
2
)(6
x
2
+8x+10)
5(
x
3
+x)
当
x∈(0,
1
2
),ϕ′(x)<0,x∈(
1
2
,+∞),ϕ′(x)>0
,
ϕ(x
)
min
=ϕ(
1
2
)=0
,
即ϕ(x)≥0即f(x)≥g(x)在(0,+∞)恒成立,
所以当x>0时,曲线y=f(x)不可能在直线y=g(x)的下方…(13分)
举一反三
设函数f(x)=x
2
-18lnx在区间[m-1,m+1]上单调递减,则实数m的取值范围是( )
A.m≤2
B.m≥4
C.0<m≤3
D.1<m≤2
题型:不详
难度:
|
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已知x=1是
f(x)=2x+
b
x
+lnx
的一个极值点
(Ⅰ)求b的值;
(Ⅱ)求函数f(x)的单调减区间;
(Ⅲ)设g(x)=f(x)-
3
x
,试问过点(2,5)可作多少条直线与曲线y=g(x)相切?请说明理由.
题型:信阳模拟
难度:
|
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已知函数
f(x)=lnx+
1
x
+ax在[2,+∞)
上是减函数,则实数a的取值范围是______.
题型:不详
难度:
|
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已知函数f(x)=k[(log
a
x)
2
+(log
x
a)
2
]-(log
a
x)
3
-(log
x
a)
3
,(其中a>1),g(x)=x
2
-2bx+4,设t=log
a
x+log
x
a.
(Ⅰ)当x∈(1,a)∪(a,+∞)时,将f(x)表示成t的函数h(t),并探究函数h(t)是否有极值;
(Ⅱ)当k=4时,若对∀x
1
∈(1,+∞),∃x
2
∈[1,2],使f(x
1
)≤g(x
2
),试求实数b的取值范围..
题型:不详
难度:
|
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已知函数f(x)=(x
2
+ax+b)e
x
,且f(0)=7,x=1是它的极值点.
(1)求f(x)的表达式;
(2)试确定f(x)的单调区间;
(3)若函数g(x)=f(x)-m(m∈R)恰有3个零点,求m的取值范围.
题型:不详
难度:
|
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