(Ⅰ)∵x=1是f(x)=2x++lnx的一个极值点, f′(x)=2-+, ∴f′(1)=0,即2-b+1=0, ∴b=3,经检验,适合题意, ∴b=3. (II)由f′(x)=2-+<0, 得<0,∴-<x<1, 又∵x>0(定义域), ∴函数的单调减区间为(0,1]. (III)g(x)=f(x)-=2x+lnx, 设过点(2,5)与曲线g(x)的切线的切点坐标为(x0,y0), ∴=g′(x0), 即2x0+lnx0-5=(2+)(x0-2), ∴lnx0+-5=(2+)(x0-2), ∴lnx0+-2=0, 令h(x)=lnx+-2, h′(x)=-=0,∴x=2. ∴h(x)在(0,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增, ∵h()=2-ln2>0,h(2)=ln2-1<0,h(e2)=>0, ∴h(x)与x轴有两个交点, ∴过点(2,5)可作2条直线与曲线y=g(x)相切. |