已知函数f(x)=mx3-x2+nx+13(m、n∈R).(1)若函数f(x)在x=-2与x=1时取得极值,求m、n的值;(2)当m=n=0时,若f(x)在闭区
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已知函数f(x)=mx3-x2+nx+13(m、n∈R). (1)若函数f(x)在x=-2与x=1时取得极值,求m、n的值; (2)当m=n=0时,若f(x)在闭区间[a,b](a<b)上有最小值4a,最大值4b,求区间[a,b]. |
答案
解(1)f′(x)=3mx2-2x+n,由题意知-2和1是方程f′(x)=0的两根,所以-2+1=,-2×1=,解得m=-,n=4. (2)当m=n=0时,f(x)=-x2+13. ①若a<b≤0,因为f(x)在[a,b]上单调递增,所以f(a)=4a,f(b)=4b,即, 所以a,b是方程x2+4x-13=0的两个不等实根,但此方程两根异号,与a<b≤0矛盾,此时无解; ②若0≤a<b,f(x)在[a,b]上单调递减, 所以f(a)=4b,f(b)=4a,即,解得a=1,b=3, 所以[a,b]=[1,3]; ③若a<0<b,f(x)在[a,0]上单调递增,在[0,b]上单调递减, 所以f(x)max=f(0)=13=4b,b=,f(b)=f()=-()2+13>0, 因a<0,最小值4a<0,所以f(x)在x=a是取得最小值4a,即-a2+13=4a,解得a=-2-, 此时[a,b]=[-2-,], 综上所求区间为[1,3]或[-2-,]. |
举一反三
若函数f(x)的导函数f′(x)=x2-4x+3,则函数f(x+1)的单调递减区间是( )A.(0,2) | B.(1,3) | C.(-4,-2) | D.(-3,-1) |
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已知函数f(x)=ax2+x-xlnx(a>0). (1)若函数满足f(1)=2,且在定义域内f(x)≥bx2+2x恒成立,求实数b的取值范围; (2)若函数f(x)在定义域上是单调函数,求实数a的取值范围; (3)当<x<y<1时,试比较与的大小. |
已知函数f(x)=lnx-ax2-2x (1)若函数f(x)在x=2处取得极值,求实数a的值; (2)若函数f(x)在定义域内单调递增,求实数a的取值范围. |
已知函数y=f(x)=ln(kx+),(k>0)在x=1处取得极小值. (1)求k的值; (2)若f(x)在(,f())处的切线方程式为y=g(x),求证当x>0时,曲线y=f(x)不可能在直线y=g(x)的下方. |
设函数f(x)=x2-18lnx在区间[m-1,m+1]上单调递减,则实数m的取值范围是( ) |
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