已知函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值10,求实数a,b的值;并判断f(1)=10是极大值还是极小值.
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已知函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值10,求实数a,b的值;并判断f(1)=10是极大值还是极小值. |
答案
∵函数f(x)=x3+ax2+bx+a2 ∴f"(x)=3x2+2ax+b, 又∵函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值10, ∴解得:或 当a=4,b=-11时,f′(x)=3(x+)(x-1),f(x)在(-∞,-)↑,在(-,1)↓,在(1,+∞)↑ ∴f(x)在x=1处取得极小值f(1)=10; 当a=-3,b=3时,f"(x)=3(x-1)2≥0,f(x)在R上单增,无极值. ∴a=4,b=-11;且f(1)=10是极小值. |
举一反三
已知函数f(x)=x3-(a+1)x2+ax,g(x)=f′(x)是函数f(x)的导函数,其中实数a是不等1的常数. (1)设a>1,讨论函数f(x)在区间[0,a+1]内零点的个数; (2)求证:当-1<a<1时,g(x)<ex在[0,+∞)内恒成立. |
函数f(x)的导函数为f′(x)=,则f(x)的单调递增区间是( )A.(-∞,0) | B.(1,+∞) | C.(0,1) | D.(-∞,0)∪(1,+∞) |
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设函数f(x)=ln+(a>0). (Ⅰ)若函数f(x)在[1,+∞)上为增函数,求实数a的取值范围; (Ⅱ)求证:当n∈N*且n≥2时,+++…+<ln n. |
已知函数f(x)=ax2+2In(1-x)(a为实数). (1)若f(x)在[-3,-2 )上是增函数,求实数a的取值范围; (2)设f(x)的导函数f′(x)满足f′(x)max=1-2,求出a的值. |
已知f(x)=ln(1+x)-(a>0). (I) 若f(x)在(0,+∞)内为单调增函数,求a的取值范围; (II) 若函数f(x)在x=O处取得极小值,求a的取值范围. |
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