已知函数f(x)=ax2+2In(1-x)(a为实数).(1)若f(x)在[-3,-2 )上是增函数,求实数a的取值范围;(2)设f(x)的导函数f′(x)满足
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已知函数f(x)=ax2+2In(1-x)(a为实数).(1)若f(x)在[-3,-2 )上是增函数,求实数a的取值范围;(2)设f(x)的导函数f′(x)满足
题型:不详
难度:
来源:
已知函数f(x)=ax
2
+2In(1-x)(a为实数).
(1)若f(x)在[-3,-2 )上是增函数,求实数a的取值范围;
(2)设f(x)的导函数f′(x)满足f′(x)
max
=1-2
2
,求出a的值.
答案
(1)由题意得f"(x)≥0,对一切x∈[-3,-2)恒成立,
即2ax-
2
1-x
≥0对一切x∈[-3,-2)恒成立.(2分)
∴2ax≥
2
1-x
,a≤
1
-
x
2
+x
=
1
-
(x-
1
2
)
2
+
1
4
,(3分)
当x∈[-3,-2)时,-(x-
1
2
)
2
+
1
4
<-6,
∴
1
-
(x-
1
2
)
2
+
1
4
>-
1
6
∴a≤-
1
6
,所以a的取值范围是(-∞,-
1
6
].(6分)
(2)因为f"(x)=2ax-
2
1-x
,
当a≤0时,则f"(x)为单调递减函数,没有最大值.(8分)
当a>0时,∵x<1∴2a(1-x)>0,
2
1-x
>0,∴f"(x)≤2a-2
4a
.(10分)
由2a(1-x)=
2
1-x
得,x=1±
1
a
由于x=1+
1
a
>1,舍去.
所以当x=1-
1
a
时,f"(x)max=2a-2
4a
.(11分)
令2a-2
4a
=1-2
2
,解得a=
1
2
或a=
9
2
-2
2
,即为所求.(12分)
举一反三
已知f(x)=ln(1+x)-
x
1+ax
(a>0).
(I) 若f(x)在(0,+∞)内为单调增函数,求a的取值范围;
(II) 若函数f(x)在x=O处取得极小值,求a的取值范围.
题型:不详
难度:
|
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已知α∈R且α<0,设函数f(x)=ax
2
+x-3alnx.
(I)求函数f(x)的单调区间;
(Ⅱ)当a=-1时,证明:f(x)≤2x-2.
题型:不详
难度:
|
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已知函数f(x)=
1
3
x
3
-x
2
+ax+b的图象在点P(0,f(0))处的切线方程为y=3x-2.
(1)求实数a,b的值;
(2)设h(x)=f(x)-6x(x∈R),求函数h(x)的极大值和极小值;
(3)设f(x)=f(x)+
m
x-1
是[2,+∞)上的增函数,求实数m的取值范围.
题型:不详
难度:
|
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已知函数f(x)=t(
1
x
-1)+lnx,t为常数,且t>0.
(1)若曲线y=f(x)上一点(
1
2
,
y
0
)处的切线方程为2x+y-2+ln2,求t和y
0
的值;
(2)若f(x)在区间[1,+∞)上是单调递增函数,求t的取值范围.
题型:不详
难度:
|
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已知函数
f(x)=
1
3
a
x
3
-
1
2
x
2
-2ax+b(a,b∈R)
(1)试求函数f(x)的单调递增区间;
(2)若函数f(x)在x=2处有极值,且f(x)图象与直线y=4x有三个公共点,求b的取值范围.
题型:不详
难度:
|
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