已知f(x)=ln(1+x)-x1+ax(a>0).(I) 若f(x)在(0,+∞)内为单调增函数,求a的取值范围;(II) 若函数f(x)在x=O处取得极小值
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已知f(x)=ln(1+x)-x1+ax(a>0).(I) 若f(x)在(0,+∞)内为单调增函数,求a的取值范围;(II) 若函数f(x)在x=O处取得极小值
题型:不详
难度:
来源:
已知f(x)=ln(1+x)-
x
1+ax
(a>0).
(I) 若f(x)在(0,+∞)内为单调增函数,求a的取值范围;
(II) 若函数f(x)在x=O处取得极小值,求a的取值范围.
答案
由f(x)=ln(1+x)-
x
1+ax
(a>0)
得f′(x)=
1
1+x
-
(1+ax)-ax
(1+ax)
2
=
a
2
x(x-
1-2a
a
2
)
(1+x)
(1+ax)
2
(Ⅰ)∵f(x)在(0,+∞)内为单调增函数∴f′(x)≥0在(0,+∞)上恒成立.
又a>0∴
x(x-
1-2a
a
2
)
≥0在(0,+∞)上恒成立
∴
1-2a
a
2
≤0,解得a≥
1
2
.
(Ⅱ)由f′(x)=
a
2
x(x-
1-2a
a
2
)
(1+x)
(1+ax)
2
=0 得x
1
=0,x
2
=
1-2a
a
2
(a>0)
其中a
2
、(1+x)、(1+ax)
2
均大于0
∵f(x)在x=O处取得极小值
∴在x=O左侧有f′(x)<0,在x=O右侧有f′(x)>0.
∴
1-2a
a
2
<0,解得a>
1
2
.
举一反三
已知α∈R且α<0,设函数f(x)=ax
2
+x-3alnx.
(I)求函数f(x)的单调区间;
(Ⅱ)当a=-1时,证明:f(x)≤2x-2.
题型:不详
难度:
|
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已知函数f(x)=
1
3
x
3
-x
2
+ax+b的图象在点P(0,f(0))处的切线方程为y=3x-2.
(1)求实数a,b的值;
(2)设h(x)=f(x)-6x(x∈R),求函数h(x)的极大值和极小值;
(3)设f(x)=f(x)+
m
x-1
是[2,+∞)上的增函数,求实数m的取值范围.
题型:不详
难度:
|
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已知函数f(x)=t(
1
x
-1)+lnx,t为常数,且t>0.
(1)若曲线y=f(x)上一点(
1
2
,
y
0
)处的切线方程为2x+y-2+ln2,求t和y
0
的值;
(2)若f(x)在区间[1,+∞)上是单调递增函数,求t的取值范围.
题型:不详
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|
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已知函数
f(x)=
1
3
a
x
3
-
1
2
x
2
-2ax+b(a,b∈R)
(1)试求函数f(x)的单调递增区间;
(2)若函数f(x)在x=2处有极值,且f(x)图象与直线y=4x有三个公共点,求b的取值范围.
题型:不详
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|
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三次函数f(x)=ax
3
-1在R上是减函数,则( )
A.a=1
B.a>0
C.
a=
1
3
D.a<0
题型:不详
难度:
|
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