在平面直角坐标系xOy中，函数f（x）=asinax+cosax（a＞0）在一个最小正周期长的区间上的图象与函数g（x）=a2+1的图象所围成的封闭图形的面积是

题型：不详难度：来源：

在平面直角坐标系xOy中，函数f（x）=asinax+cosax（a＞0）在一个最小正周期长的区间上的图象与函数g（x）=

a2+1

的图象所围成的封闭图形的面积是______．

答案

解法一：由三角函数公式可得f（x）=asinax+cosax=

a2+1

sin（ax+ϕ），其中tanϕ=

1

a

，
所以函数的周期为T=

2π

a

，取长为

2π

a

，宽为2

a2+1

的矩形，
由对称性知，面积的一半即为所求．
故答案为：

2π

a

a2+1

．
解法二：由定积分的意义知，封闭图形的面积为

∫

φ1φ2

a2+1

[1-sin（ax+ϕ）]dx
换元，令ax+ϕ=t，则x=

1

a

（t-ϕ），上式可化为：

a2+1

a

∫

π 2 0

（1-sint）dt=

2π

a

a2+1

故答案为：

2π

a

a2+1

．