已知函数f(x)=axx2+b(a,b∈R)在(-1,f(-1))处的切线方程为y=-2.(Ⅰ)求函数f(x)的表达式;(Ⅱ)当m满足什么条件时,函数f(x)在

已知函数f(x)=axx2+b(a,b∈R)在(-1,f(-1))处的切线方程为y=-2.(Ⅰ)求函数f(x)的表达式;(Ⅱ)当m满足什么条件时,函数f(x)在

题型:不详难度:来源:
已知函数f(x)=
ax
x2+b
(a,b∈R)在(-1,f(-1))处的切线方程为y=-2.
(Ⅰ)求函数f(x)的表达式;
(Ⅱ)当m满足什么条件时,函数f(x)在区间(m,2m+1)上单调递增?
答案
(Ⅰ)由题意得,f′(x)=
a(x2+b)-ax(2x)
(x2+b)2

∵函数f(x)=
ax
x2+b
在(-1,f(-1))处切线为y=-2,





f′(-1)=0
f(-1)=-2.
,即





a(1+b)-2a=0
a
1+b
=2.

解得





a=4
b=1.

f(x)=
4x
1+x2

(Ⅱ)由(Ⅰ)知f′(x)=
4(x2+1)-8x2
(x2+1)2
=
-4(x-1)(x+1)
(x2+1)2

由f′(x)≥0得,-1≤x≤1,即f(x)的单调增区间是[-1,1].
∵f(x)在区间(m,2m+1)上单调递增,





m≥-1
2m+1≤1
m<2m+1.
,解得-1<m≤0.
∴当m∈(-1,0]时,函数f(x)在区间(m,2m+1)上单调递增.
举一反三
若函数f(x)=
1
3
x3-kx2+(2k-1)x+5
在区间(2,3)上是减函数,则k的取值范围是(  )
A.[1,+∞)B.[0,1]C.(-∞,0]D.[2,+∞)
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设x=1和x=2是函数f(x)=x3+ax2+bx+1的两个极值点.
(Ⅰ)求a和b的值;
(Ⅱ)求f(x)的单调区间.
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函数f(x)的定义域为R,f(-2)=2013,对任意x∈R,都有f′(x)<2x成立,则不等式f(x)>x2+2009的解集为(  )
A.(-2,2)B.(-2,+∞)C.(-∞,-2)D.(-∞,+∞)
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已知函数f(x)=
1
2
ax2+2x(a≠0),g(x)=lnx

(Ⅰ)若h(x)=f(x)-g(x)存在单调增区间,求a的取值范围;
(Ⅱ)是否存在实数a>0,使得方程
g(x)
x
=f′(x)-(2a+1)
在区间(
1
e
,e)
内有且只有两个不相等的实数根?若存在,求出a的取值范围,若不存在,请说明理由.
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设函数f(x)=px2+qx-
q
x
是奇函数,其中p,q是常数,且q≠0.
(Ⅰ)求P的值;
(Ⅱ)若q<0,求f(x-1)的单调区间;
(Ⅲ)求f(sinx+cosx)在x∈[0,
π
2
]上的最大值与最小值.(用q表示)
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