(Ⅰ)f′(x0)=x2+2ax+b,由题设知f′(-1)=0 ∴b=2a-1 韦达定理得另一极值点x=-b=1-2a,因为x=-1为极大值点 故1-2a>-1, ∴a<1 (Ⅱ)f(x)在(-∞,-1)上递增,在(-1,1-2a)递减,在(1-2a,+∞)上递增, 故当x∈[-1,2]时,分情况如下: ①1-2a≥2,即a≤-时,f(x)在x∈[-1,2]上单调递减 ∴f(x)min=f(2)=8a+=-, 解得a=-,不合条件,舍去 ②1-2a<2,即-<a<1时, ∴f(x)min=f(1-2a)=(1-2a)3+a(1-2a)2-(1-2a)2=(1-2a)2(a-2) ∴(1-2a)2(a-2)=-,化简得a(2a-3)2=0,a=0或a=,取a=0 综上,故所求的a=0 (Ⅲ)k==3a,即证x02+2ax0+b=3a 即证方程x2+2ax-a-1=0(a<1)在x∈(-1,2)上有实数解 记g(x)=x2+2ax-a-1=0(a<1), g(-1)=-3a,g(2)=3a+3 ①当g(-1)•g(2)=-3a(a+1)<0,即a<-1或0<a<1时,由零点存在定理知此时方程有解 ②a<0时,此时△=4(a2+a+1)>0,g(2)>0,g(-1)>0,且二次函数g(x)的 对称轴x=-a∈(0,1)⊆(-1,2),由此可知此时方程在(-1,2)内有两个解 ③a=-1时方程有一根为x=0,当a=0时方程有一根为x=1 综上可知,方程x2+2ax-a-1=0(a<1)在x∈(-1,2)上有实数解. 即必存在x0∈(-1,2),使f"(x0)=k. |