已知函数f(x)=ln(2x-1)+ax2-3x在x=1处取得极值.(1)求函数f(x)的单调区间;(2)求证:∀x∈(1,3],m∈(0,+∞),f(x)<m
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已知函数f(x)=ln(2x-1)+ax2-3x在x=1处取得极值.(1)求函数f(x)的单调区间;(2)求证:∀x∈(1,3],m∈(0,+∞),f(x)<m
题型:不详
难度:
来源:
已知函数f(x)=ln(2x-1)+ax
2
-3x在x=1处取得极值.
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)求证:∀x∈(1,3],m∈(0,+∞),
f(x)<
m
+
1
m
-4
.
答案
(1)f′(x)=
2
2x-1
+2ax-3,由f′(1)=0,得a=
1
2
.(4分)
∴f(x)=ln
(2x-1)
+
1
2
x
2
-3x,(x>
1
2
)
,f
/
(x)=
2
2x-1
+x-3=
2
x
2
-7x+5
2x-1
=
(x-1)(2x-5)
2x-1
,
有图可知函数f(x)单调区间为
增区间为:
(
1
2
,1),(
5
2
,+∞)
,减区间为:
(1,
5
2
)
(8分)
(2)由f(x)在
(
1
2
,1),(
5
2
,3)
递增,在
(1,
5
2
)
递减.在x=1时取得极大值
-
5
2
又f(3)=ln5-f(3)=ln5-f(3)=ln5-
9
2
,-
5
2
>ln5-
9
2
所以在∀x∈(1,3],f(x)<-
5
2
又m∈(0,+∞),
m
+
1
m
-4≥2-4=-2,(当m=1时取等号)
即
m
+
1
m
-4的最小值为-2,-2>-
5
2
∴∀x∈(1,3],f(x)<
m
+
1
m
-4恒成立.
举一反三
函数f(x)=
sinx
x
,则( )
A.f(x)在(0,π)内是减函数
B.f(x)在(0,π)内是增函数
C.f(x)在(-
π
2
,
π
2
)内是减函数
D.f(x)在(-
π
2
,
π
2
)内是增函数
题型:不详
难度:
|
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定义:对于区间I内可导的函数y=f(x),若∃x
0
∈I,使f(x
0
)=f′(x
0
)=0,则称x
0
为函数y=f(x)的新驻点.已知函数f(x)=a
x
-x.
(Ⅰ)若函数y=f(x)存在新驻点,求新驻点x
0
,并求此时a的值;
(Ⅱ)若f(x)≥0恒成立,求实数a的取值范围.
题型:不详
难度:
|
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已知函数f(x)=alnx-ax-3(a∈R).
(Ⅰ)当a=1时,求函数f(x)的单调区间;
(Ⅱ)若函数y=f(x)的图象在点(2,f(2))处的切线的倾斜角为45°,问:m在什么范围取值时,对于任意的t∈[1,2],函数
g(x)=
x
3
+
x
2
[
m
2
+f′(x)]
在区间(t,3)上总存在极值?
(Ⅲ)当a=2时,设函数
h(x)=(p-2)x-
p+2e
x
-3
,若在区间[1,e]上至少存在一个x
0
,使得h(x
0
)>f(x
0
)成立,试求实数p的取值范围.
题型:赣州模拟
难度:
|
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函数y=x
3
-ax+4在(1,+∞)上为增函数,则a的取值范围是______.
题型:不详
难度:
|
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已知函数f(x)=ax
3
+bx在x=3时取得极值-54
(Ⅰ)求a,b的值
(Ⅱ)求曲线y=f(x)与x轴围成图形的面积.
题型:不详
难度:
|
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