已知函数f（x）=alnx-ax-3（a∈R）．（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数y=f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为

题型：赣州模拟难度：来源：

已知函数f（x）=alnx-ax-3（a∈R）．
（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数y=f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，问：m在什么范围取值时，对于任意的t∈[1，2]，函数g(x)=x3+x2[

m

2

+f′(x)]在区间（t，3）上总存在极值？
（Ⅲ）当a=2时，设函数h(x)=(p-2)x-

p+2e

x

-3，若在区间[1，e]上至少存在一个x₀，使得h（x₀）＞f（x₀）成立，试求实数p的取值范围．

答案

（Ι）当a=1时，函数f（x）=alnx-ax-3=lnx-x-3；导函数为f′(x)=

1

x

-1；
当0＜x＜1时，函数f（x）单调递增，当时x＞1时，函数f（x）单调递减；
故减区间为（1，+∞），增区间为（0，1）；
（Ⅱ）∵g（x）=x3+x2[

m

2

+f′(x)]=x3+(2+

m

2

)x²-2x，
∴g^‘（x）=3x²+（4+m）x-2，
∵g（x）在区间（t，3）上总存在极值，∴

g′(t)＜0 g′(3)＞0.

解得-

37

3

＜m＜-9．
所以当m∈(-

37

3

，-9)时，对于任意的t∈[1，2]函数g(x)=x3+x2[

m

2

+f′(x)]在区间（t，3）上总存在极值．
（Ⅲ）∴令F(x)=h(x)-f(x)=(p-2)x-

p+2e

x

-3-2lnx+2x+3=px-

p

x

-

2e

x

-2lnx
①当p≤0时，由x∈[1，e]得px-

p

x

≤0，-

2e

x

-2lnx＜0．
所以，在[1，e]上不存在x₀，使得h（x₀）＞f（x₀）成立；
②当p＞0时，F"（x）=

px2-2x+p+2e

x2

，∵x∈[1，e]，
∴2e-2x≥0，px²+p＞0，F"（x）＞0在[1，e]上恒成立，故F（x）在[1，e]上单调递增．
∴F(x)max=F(e)=pe-

p

e

-4．
故只要pe-

p

e

-4＞0，解得p＞

4e

e2-1

．所以p的取值范围是(

4e

e2-1

，+∞)．