已知函数f(x)=ex,A(a,0)为一定点,直线x=t(t≠0)分别与函数f(x)的图象和x轴交于点M,N,记△AMN的面积为S(t).(Ⅰ)当a=0时,求函
题型:海淀区二模难度:来源:
已知函数f(x)=ex,A(a,0)为一定点,直线x=t(t≠0)分别与函数f(x)的图象和x轴交于点M,N,记△AMN的面积为S(t). (Ⅰ)当a=0时,求函数S(t)的单调区间; (Ⅱ)当a>2时,若∃t0∈[0,2],使得S(t0)≥e,求a的取值范围. |
答案
(I) 因为S(t)=|t-a|et,其中t≠a…(2分) 当a=0,S(t)=|t|et,其中t≠0 当t>0时,S(t)=tet,S′(t)=(t+1)et, 所以S"(t)>0,所以S(t)在(0,+∞)上递增,…(4分) 当t<0时,S(t)=-tet,S′(t)=-(t+1)et, 令S′(t)=-(t+1)et>0,解得t<-1,所以S(t)在(-∞,-1)上递增 令S′(t)=-(t+1)et<0,解得t>-1,所以S(t)在(-1,0)上递减 …(7分) 综上,S(t)的单调递增区间为(0,+∞),(-∞,-1),S(t)的单调递增区间为(-1,0) (II)因为S(t)=|t-a|et,其中t≠a 当a>2,t∈[0,2]时,S(t)=(a-t)et 因为∃t0∈[0,2],使得S(t0)≥e,所以S(t)在[0,2]上的最大值一定大于等于e, S′(t)=-[t-(a-1)]et,令S"(t)=0,得t=a-1…(8分) 当a-1≥2时,即a≥3时S′(t)=-[t-(a-1)]et>0对t∈(0,2)成立,S(t)单调递增, 所以当t=2时,S(t)取得最大值S(2)=(a-2)e2 令(a-2)e2≥e,解得 a≥+2, 所以a≥3…(10分) 当a-1<2时,即a<3时S′(t)=-[t-(a-1)]et>0对t∈(0,a-1)成立,S(t)单调递增,S′(t)=-[t-(a-1)]et<0对t∈(a-1,2)成立,S(t)单调递减, 所以当t=a-1时,S(t)取得最大值S(a-1)=ea-1, 令S(a-1)=ea-1≥e,解得a≥ln2+2, 所以ln2+2≤a<3…(12分) 综上所述,ln2+2≤a…(13分) |
举一反三
已知函数f(x)=x3-3ax2-2bx在x=-处有极大值,试确定a、b的值,并求出f(x)的单调区间. |
已知函数f(x)=ax+lnx (1)试讨论f(x)的极值 (2)设g(x)=x2-2x+2,若对∀x1∈(0,+∞),∃x2∈[0,1],使得f(x1)<g(x2),求实数a的取值范围. |
已知f(x)=ax-x3(x∈R)在区间(0, ]内是增函数. (Ⅰ) 求a的取值范围; (Ⅱ) 若f(x)的极小值为-2,求a的值. |
已知函数f(x)=ln(2x-1)+ax2-3x在x=1处取得极值. (1)求函数f(x)的单调区间; (2)求证:∀x∈(1,3],m∈(0,+∞),f(x)<+-4. |
函数f(x)=,则( )A.f(x)在(0,π)内是减函数 | B.f(x)在(0,π)内是增函数 | C.f(x)在(-,)内是减函数 | D.f(x)在(-,)内是增函数 |
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