已知f(x)=ax-x3(x∈R)在区间(0, 22]内是增函数.(Ⅰ) 求a的取值范围;(Ⅱ) 若f(x)的极小值为-2,求a的值.
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已知f(x)=ax-x3(x∈R)在区间(0, 22]内是增函数.(Ⅰ) 求a的取值范围;(Ⅱ) 若f(x)的极小值为-2,求a的值.
题型:不详
难度:
来源:
已知f(x)=ax-x
3
(x∈R)在区间
(0,
2
2
]
内是增函数.
(Ⅰ) 求a的取值范围;
(Ⅱ) 若f(x)的极小值为-2,求a的值.
答案
(Ⅰ)f"(x)=a-3x
2
,(1分)
依题意,当
x∈(0,
2
2
]
时,f"(x)≥0,即a-3x
2
≥0成立,(3分)
∴
a≥3×(
2
2
)
2
=
3
2
,故所求a的范围是
[
3
2
,+∞)
.(6分)
(Ⅱ)令f"(x)=0,即a-3x
2
=0,得
x=±
a
3
.由(Ⅰ)知,
a≥
3
2
.
当
x<
a
3
时,f"(x)>0;当
x>
a
3
时,f"(x)<0.
所以,当
x=
a
3
时,f(x)取极大值.
当
x<-
a
3
时,f"(x)<0; 当
x>-
a
3
时,f"(x)>0.
所以,当
x=-
a
3
时,f(x)取极小值.(10分)
于是,
f(-
a
3
)=-2
,即
a(-
a
3
)-(-
a
3
)
3
=-2
,解得a=3. (12分)
举一反三
已知函数f(x)=ln(2x-1)+ax
2
-3x在x=1处取得极值.
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)求证:∀x∈(1,3],m∈(0,+∞),
f(x)<
m
+
1
m
-4
.
题型:不详
难度:
|
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函数f(x)=
sinx
x
,则( )
A.f(x)在(0,π)内是减函数
B.f(x)在(0,π)内是增函数
C.f(x)在(-
π
2
,
π
2
)内是减函数
D.f(x)在(-
π
2
,
π
2
)内是增函数
题型:不详
难度:
|
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定义:对于区间I内可导的函数y=f(x),若∃x
0
∈I,使f(x
0
)=f′(x
0
)=0,则称x
0
为函数y=f(x)的新驻点.已知函数f(x)=a
x
-x.
(Ⅰ)若函数y=f(x)存在新驻点,求新驻点x
0
,并求此时a的值;
(Ⅱ)若f(x)≥0恒成立,求实数a的取值范围.
题型:不详
难度:
|
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已知函数f(x)=alnx-ax-3(a∈R).
(Ⅰ)当a=1时,求函数f(x)的单调区间;
(Ⅱ)若函数y=f(x)的图象在点(2,f(2))处的切线的倾斜角为45°,问:m在什么范围取值时,对于任意的t∈[1,2],函数
g(x)=
x
3
+
x
2
[
m
2
+f′(x)]
在区间(t,3)上总存在极值?
(Ⅲ)当a=2时,设函数
h(x)=(p-2)x-
p+2e
x
-3
,若在区间[1,e]上至少存在一个x
0
,使得h(x
0
)>f(x
0
)成立,试求实数p的取值范围.
题型:赣州模拟
难度:
|
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函数y=x
3
-ax+4在(1,+∞)上为增函数,则a的取值范围是______.
题型:不详
难度:
|
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