已知函数f(x)=mx3+nx2(m、n∈R,m≠0),函数y=f(x)的图象在点(2,f(2))处的切线与x轴平行.(1)用关于m的代数式表示n;(2)当m=

已知函数f(x)=mx3+nx2(m、n∈R,m≠0),函数y=f(x)的图象在点(2,f(2))处的切线与x轴平行.(1)用关于m的代数式表示n;(2)当m=

题型:海淀区二模难度:来源:
已知函数f(x)=mx3+nx2(m、n∈R,m≠0),函数y=f(x)的图象在点(2,f(2))处的切线与x轴平行.
(1)用关于m的代数式表示n;
(2)当m=1时,求函数f(x)的单调区间.
答案
(1)∵f(x)=mx3+nx2
∴f"(x)=3mx2+2nx
由已知条件得:f"(2)=0
∴3m+n=0  
∴n=-3m
(2)若m=1,则n=-3
∴f(x)=x3-3x2
∴f"(x)=3x2-6x,
令f"(x)>0,∴x<0或x>2.         
令f"(x)<0,得0<x<2
∴f(x)的单调递增区间为(-∞,0),(2,+∞)
∴f(x)的单调递减区间为(0,2).
举一反三
已知函数f(x)=x2+alnx+
2
x
在[1,+∞)上是单调递增函数,求实数a的取值范围.
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已知函数f(x)=3x4-4(a+1)x3+6ax2-12(a>0),
(1)求函数f(x)的单调递增区间;
(2)当a=2时,求函数f(x)的极大值.
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已知函数f(x)=ax-(a+1)ln(x+1),其中a>0.
(1)求f(x)的单调区间;
(2)设f(x)的最小值为g(a),求证:-
1
a
<g(a)<0
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已知函数f(x)=sinx-
1
2
x x∈(0,π)

(1)求函数f(x)的单调递增区间;
(2)求函数f(x)的图象在点x=
π
3
处的切线方程.
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设函数f(x)=x-m(x+1)ln(x+1),(x>-1,m≥0)
(1)求f(x)的单调区间;
(2)当m=1时,若直线y=t与函数f(x)在[-
1
2
,1]
上的图象有两个交点,求实数t的取值范围;
(3)证明:当a>b>0时,(1+a)b<(1+b)a
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