已知函数f(x)=3x4-4(a+1)x3+6ax2-12(a>0),(1)求函数f(x)的单调递增区间;(2)当a=2时,求函数f(x)的极大值.
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已知函数f(x)=3x4-4(a+1)x3+6ax2-12(a>0), (1)求函数f(x)的单调递增区间; (2)当a=2时,求函数f(x)的极大值. |
答案
(1)f"(x)=12x(x-a)(x-1) 0<a<1时,f"(x)>0,0<x<a,或x>1, f(x)在[0,a]和[1,+∞]上递增; a=1时,f"(x)>0⇔x>0且x≠1,f(x)在[0,+∞)上递增; a>1时f"(x)>0⇔0<x<1或x>a,f(x)在[0,1],[a,+∞]上递增. (2)a=2时,f′(x)=0得x=0,x=1,x=2, ∴f(x)在(-∞,0)上递减,在[0,1]上递增, 在[1,2]上递减,在[2,+∞)上递增 ∴a=2时,f(x)有极大值-9. |
举一反三
已知函数f(x)=ax-(a+1)ln(x+1),其中a>0. (1)求f(x)的单调区间; (2)设f(x)的最小值为g(a),求证:-<g(a)<0. |
已知函数f(x)=sinx-x, x∈(0,π). (1)求函数f(x)的单调递增区间; (2)求函数f(x)的图象在点x=处的切线方程. |
设函数f(x)=x-m(x+1)ln(x+1),(x>-1,m≥0) (1)求f(x)的单调区间; (2)当m=1时,若直线y=t与函数f(x)在[-,1]上的图象有两个交点,求实数t的取值范围; (3)证明:当a>b>0时,(1+a)b<(1+b)a. |
已知函数f(x)=ax2+2lnx. (1)求f(x)的单调区间; (2)若f(x)在(0,1]上的最大值是-2,求a的值; (3)记g(x)=f(x)+(a-1)lnx+1,当a≤-2时,求证:对任意x1,x2∈(0,+∞),总有|g(x1)-g(x2)|≥4|x1-x2| |
已知函数f(x)=(x-1)2-aln|x-1|(a∈R,a≠0). (Ⅰ)当a=8时,求函数f(x)的单调区间; (Ⅱ)求函数f(x)在区间[e+1,e2+1]上的最小值. |
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