(Ⅰ)函数的定义域为(-1,+∞).(1分) ∵f/(x)=2[(x+1)-]=, 由f′(x)>0,得x>0;由f′(x)<0,得-1<x<0.(3分) ∴f(x)的递增区间是(0,+∞),递减区间是(-1,0).(4分) (Ⅱ)∵由f/(x)==0,得x=0,x=-2(舍去) 由(Ⅰ)知f(x)在[-1,0]上递减,在[0,e-1]上递增. 高三数学(理科)答案第3页(共6页) 又f(-1)=+2,f(e-1)=e2-2,且e2-2>+2. ∴当x∈[-1,e-1]时,f(x)的最大值为e2-2. 故当m>e2-2时,不等式f(x)<m恒成立.(9分) (Ⅲ)方程f(x)=x2+x+a,x-a+1-2ln(1+x)=0. 记g(x)=x-a+1-2ln(1+x), ∵g/(x)=1-=, 由g′(x)>0,得x>1或x<-1(舍去).由g′(x)<0,得-1<x<1. ∴g(x)在[0,1]上递减,在[1,2]上递增. 为使方程f(x)=x2+x+a在区间[0,2]上恰好有两个相异的实根, 只须g(x)=0在[0,1]和(1,2]上各有一个实数根,于是有 ∵2-2ln2<3-2ln3, ∴实数a的取值范围是2-2ln2<a≤3-2ln3.(14分) |