已知x∈R，函数f（x）=ax3+bx2+cx+d在x=0处取得极值，曲线y=f（x）过原点O（0，0）和点P（-1，2）．若曲线y=f（x）在点P处的切线l与

题型：不详难度：来源：

已知x∈R，函数f（x）=ax³+bx²+cx+d在x=0处取得极值，曲线y=f（x）过原点O（0，0）和点P（-1，2）．若曲线y=f（x）在点P处的切线l与直线y=2x的夹角为45°，且直线l的倾斜角θ∈（

π

2

，π），
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）若函数y=f（x）在区间[2m-1，m+1]上是增函数，求实数m的取值范围；
（Ⅲ）若x1、x₂∈[-1，1]，求证：f（x₁）-f（x₂）≤4．

答案

解（Ⅰ）由已知f"（x）=3ax²+2bx+c∴

f(0)=0 f′(0)=0

⇒c=d=0∴c=d=0…（2分）
又|

2-f′(-1)

1+2f′(1)

| =1且f"（-1）＜0∴f"（-1）=-3 （舍去f"（-1）=

1

3

）
∴

f(-1)=-a+b=2 f′(-1)=3a-2b=-3

⇒

a=1 b=3

⇒f（x）=x³+3x²…（4分）
（Ⅱ）令f"（x）=3x（x+2）＞0⇒x＞0或x＜-2  即f（x）的增区间为（-∞，-2]、[0，+∞）
∵y=f（x）在区间[2m-1，m+1]上是增函数
∴2m-1＜m+1≤-2或0≤2m-1＜m+1 则m≤-3或

1

2

≤m＜2…（8分）
（Ⅲ）令f"（x）=3x（x+2）=0⇒x=0或x=-2
∵f（0）=0，f（-1）=2，f（1）=4∴y=f（x）在[-1，1]上的最大值为4，最小值为0…（10分）
∴x₁、x₂∈[-1，1]时，|f（x₁）-f（x₂）|≤4-0=4…（12分）