(1)由题意f(x)=ax--2lnx,f(e)=be--2,∴ae--2=be--2, ∴(a-b)(e+)=0,∴a=b. (2)由(1)知:f(x)=ax--2lnx,(x>0),∴f′(x)=a+-=, 令h(x)=ax2-2x+a.要使g(x)在(0,+∞)为增函数,只需h(x)在(0,+∞)满足:h(x)≥0恒成立. 即ax2-2x+a≥0,a≥ 在(0,+∞)上恒成立. 又∵0<=≤1,x>0,所以a≥1. (3)证明:先证:lnx-x+1≤0 (x>0),设K(x)=lnx-x+1,则K′(x)=-1=. 当x∈(0,1)时,k′(x)>0,∴k(x)为单调递增函数; 当x∈(1,∞)时,k′(x)<0,∴k(x)为单调递减函数; ∴x=1为k(x)的极大值点,∴k(x)≤k(1)=0. 即lnx-x+1≤0,∴lnx≤x-1. 由上知 lnx≤x-1,又x>0,∴≤1-. ∵n∈N+,n≥2,令x=n2,得 ≤1-,∴≤(1-), ∴++…+≤(1-+1-+…+1- ) =[n-1-(++… +)]<[n-1-(++… +)] =[n-1-( - +-+…- )]=[n-1-( - )]=, 故要证的不等式成立. |