(Ⅰ)f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=-+1+=.…(1分) (ⅰ)当-1<a<0时,由f"(x)>0得0<x<-a或x>1;由f"(x)<0得-a<x<1. 故f(x)在(0,-a),(1,+∞)上单调递增,在(-a,1)上单调递减.…(4分) (ⅱ)当a<-1时,由f"(x)>0得0<x<1或x>-a;由f"(x)<0得1<x<-a. 故f(x)分别在(0,1),(-a,+∞)上单调递增,在(1,-a)上单调递减. …(7分) (Ⅱ)由(Ⅰ)知,当-1<a<0时,f(x)在[1,+∞)上是增函数, ∴f(x)在[1,+∞)上的最小值是f(1)=a+1-15a=2,∴a=-. …(9分) 当a<-1时,f(x)在[1,+∞)上的最小值是f(-a)=-1-a+(a-1)ln(-a)-15a=2, 即-16a-3+(a-1)ln(-a)=0, 下证满足此式的a不存在. 设F(x)=16x-3-(x+1)lnx,其中x=-a∈(1,e10). ∵F′(x)=16-(lnx+1+)>0,∴F(x)在(1,e10)上是增函数, ∴F(x)>F(1)=13>0,∴-16a-3+(a-1)ln(-a)>0. ∴-16a-3+(a-1)ln(-a)=0无解 综上,a=-. …(12分) |