已知函数f（x）=lnx-2x，（K是常数）（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若f（x）＜x恒成立，求K的取值范围．
题型：不详难度：来源：
已知函数f（x）=lnx-2x，（K是常数）
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若f（x）＜x恒成立，求K的取值范围． |
答案
（1）由f（x）=lnx-2kx，
得f′(x)=-2k…（1分）
∵f（x）的定义域为（0，+∞），
∴当k≤0时，f′(x)=-2k＞0，f（x）在（0，+∞）是增函数． …（3分）
当k＞0时，由-2k＞0可得x＜，
∴f（x）在（0，）是增函数，在（，+∞）是减函数． …（5分）
综上，当k≤0时，f（x）的单调增区间是（0，+∞）；
当K＞0时，f（x）的单调增区间是（0，），单调减区间是（，+∞）．…（6分）
（2）由f（x）＜x恒成立，得lnx-2kx-x＜0恒成立，x∈（0，+∞）．
即2kx＞lnx-x，
∴2k＞-1恒成立． …（8分）
设g(x)=-1，则g′(x)=，
令g′(x)==0得x=e．
当0＜x＜e时，g′（x）＞0，当x＞e时，g′（x）＜0，
∴g（x）在（0，e）上单调递增，在（e，+∞）上单调递减． …（10分）
∴g（x）=-1在x=e时取得极大值g(e)=-1，
且为g（x）在（0，+∞）上的最大值．
∴2k＞-1，k＞x2，y2…（11分）
∴k的取值范围是(，+∞)．…（12分） |
举一反三
已知函数f（x）=ax+blnx+c，（a，b，c）是常数）在x=e处的切线方程为（e-1）x+ex-e=0，x=1既是函数y=f（x）的零点，又是它的极值点．
（1）求常数a，b，c的值；
（2）若函数g（x）=x2+mf（x）（m∈R）在区间（1，3）内不是单调函数，求实数m的取值范围；
（3）求函数h（x）=f（x）-1的单调递减区间，并证明：×××…×＜． |
已知函数f(x)=2ax++lnx．
（Ⅰ）若函数f（x）在x=1，x=处取得极值，求a，b的值；
（Ⅱ）若f′（1）=2，函数f（x）在（0，+∞）上是单调函数，求a的取值范围． |
已知函数f（x）=x3-3x2+10．
（1）求f"（1）；
（2）求函数f（x）的单调区间． |
已知函数f（x）=kx，g(x)=
（1）求函数g(x)=的单调递增区间；
（2）若不等式f（x）≥g（x）在区间（0，+∞）上恒成立，求k的取值范围；
（3）求证：++…+＜． |
设函数f（x）=x-a（x+1）ln（x+1），（x＞-1，a≥0）
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）当a=1时，若方程f（x）=t在[-，1]上有两个实数解，求实数t的取值范围；
（Ⅲ）证明：当m＞n＞0时，（1+m）n＜（1+n）m． |
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