试题分析:(Ⅰ)由侧面 为菱形得 ,结合 得 平面 ,故 ,且 为 的中点.故 垂直平分线段 ,则 ;(Ⅱ)求二面角大小,可考虑借助空间直角坐标系.故结合已知条件寻找三条两两垂直相交的直线是解题关键.当 且 时,三角形 为等腰直角三角形,故 ,结合已知条件可判断 ,故 ,从而 两两垂直.故以 为坐标原点, 的方向为 轴正方向建立空间直角坐标系,用坐标表示相关点的坐标.分别求半平面 和 的法向量,将求二面角问题转化为求法向量夹角处理. 试题解析:(I)连接 ,交 于 ,连接 .因为侧面 为菱形,所以 ,且 为 与 的中点.又 ,所以 平面 ,故 .又 ,故 . (II)因为 ,且 为 的中点,所以 ,又因为 , .故 ,从而 两两垂直.以 为坐标原点, 的方向为 轴正方向, 为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系 .因为 ,所以 为等边三角形.又 ,则 , , , .
, , . 设 是平面 的法向量,则 即 所以可取 . 设 是平面 的法向量,则 同理可取 . 则 .所以二面角 的余弦值为 .
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191106/20191106013351-81247.png) 【考点定位】1、直线和平面垂直的判定和性质;2、二面角求法. |