(本小题满分12分)如图,三棱柱中,侧面为菱形,.(Ⅰ)证明:;(Ⅱ)若,,,求二面角的余弦值.

(本小题满分12分)如图,三棱柱中,侧面为菱形,.(Ⅰ)证明:;(Ⅱ)若,,,求二面角的余弦值.

题型:不详难度:来源:
(本小题满分12分)
如图,三棱柱中,侧面为菱形,.

(Ⅰ)证明:;
(Ⅱ)若,,求二面角的余弦值.
答案
(Ⅰ)详见解析;(Ⅱ)
解析

试题分析:(Ⅰ)由侧面为菱形得,结合平面,故,且的中点.故垂直平分线段,则;(Ⅱ)求二面角大小,可考虑借助空间直角坐标系.故结合已知条件寻找三条两两垂直相交的直线是解题关键.当时,三角形为等腰直角三角形,故,结合已知条件可判断,故,从而两两垂直.故以为坐标原点,的方向为轴正方向建立空间直角坐标系,用坐标表示相关点的坐标.分别求半平面的法向量,将求二面角问题转化为求法向量夹角处理.
试题解析:(I)连接,交,连接.因为侧面为菱形,所以,且的中点.又,所以平面,故.又,故
(II)因为,且的中点,所以,又因为.故,从而两两垂直.以为坐标原点,的方向为轴正方向,为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系.因为,所以为等边三角形.又,则
,,
是平面的法向量,则所以可取
是平面的法向量,则同理可取
.所以二面角的余弦值为

【考点定位】1、直线和平面垂直的判定和性质;2、二面角求法.
举一反三
(满分14分)如图在三棱锥中,分别为棱的中点,已知

求证(1)直线平面
(2)平面平面.
题型:不详难度:| 查看答案
如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,点A1在平面ABC内的射影D在AC上,∠ACB=90,BC=1,AC=CC1=2.
(1)证明:AC1⊥A1B;
(2)设直线AA1与平面BCC1B1的距离为,求二面角A1-AB-C的大小.
题型:不详难度:| 查看答案
(本小题满分12分)
如图,四棱锥中,⊥平面,,分别为线段的中点.

(1)求证:∥平面;    
(2)求证:⊥平面.
题型:不详难度:| 查看答案
(本小题满分12分)
在如图所示的多面体中,四边形都为矩形。

(Ⅰ)若,证明:直线平面
(Ⅱ)设分别是线段的中点,在线段上是否存在一点,使直线平面?请证明你的结论。
题型:不详难度:| 查看答案
如图,三棱柱中,侧面为菱形,的中点为,且平面.

证明:
,求三棱柱的高.
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