若函数f（x）=ax3+x，（1）求实数a的取值范围，使f（x）在R上是增函数．（2）求实数a的取值范围，使f（x）恰好有三个单调区间．
题型：不详难度：来源：
若函数f（x）=ax3+x，
（1）求实数a的取值范围，使f（x）在R上是增函数．
（2）求实数a的取值范围，使f（x）恰好有三个单调区间． |
答案
求导函数，可得f′（x）=3ax2+1，
（1）f（x）在R上是增函数，∴f′（x）=3ax2+1≥0在R上恒成立，
当x=0时，a∈R；当x≠0时，3a≥-，∴a≥0；
综上知，a≥0；
（2）f（x）恰好有三个单调区间，则f′（x）=3ax2+1=0有两个不相等的实数根，
∴△=0-12a＞0
∴a＜0 |
举一反三
| 若曲线y=x3+px+16与x轴相切，则实数p的值为（ ） |
设函数f（x）=（1+x）2-2ln（1+x）．
（Ⅰ）求f （x）的单调区间；
（Ⅱ）若当x∈[-1，e-1]时，不等式f （x）＜m恒成立，求实数m的取值范围；
（Ⅲ）若关于x的方程f（x）=x2+x+a在区间[0，2]上恰好有两个相异的实根，求实数a的取值范围． |
已知函数f（x）=x4-x3+2x2，则f（x）（ ）| A．有极大值，无极小值 | B．有极大值，有极小值 | | C．有极小值，无极大值 | D．无极小值，无极大值 |
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已知函数f（x）=xlnx．
（I）求函数f（x）的单调递减区间；
（II）若f（x）≥-x2+ax-6在（0，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围；
（III）过点A（-e-2，0）作函数y=f（x）图象的切线，求切线方程． |
已知x∈R，函数f（x）=ax3+bx2+cx+d在x=0处取得极值，曲线y=f（x）过原点O（0，0）和点P（-1，2）．若曲线y=f（x）在点P处的切线l与直线y=2x的夹角为45°，且直线l的倾斜角θ∈（，π），
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）若函数y=f（x）在区间[2m-1，m+1]上是增函数，求实数m的取值范围；
（Ⅲ）若x1、x2∈[-1，1]，求证：f（x1）-f（x2）≤4． |
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