已知函数f(x)=12x2+alnx(a∈R).(1)若a=-1,求f(x)的单调递增区间;(2)当x>1时,f(x)>lnx恒成立,求实数a的取值范围.
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已知函数f(x)=12x2+alnx(a∈R).(1)若a=-1,求f(x)的单调递增区间;(2)当x>1时,f(x)>lnx恒成立,求实数a的取值范围.
题型:不详
难度:
来源:
已知函数
f(x)=
1
2
x
2
+alnx(a∈R)
.
(1)若a=-1,求f(x)的单调递增区间;
(2)当x>1时,f(x)>lnx恒成立,求实数a的取值范围.
答案
(1)∵
f(x)=
1
2
x
2
+alnx(a∈R)
,
∴若a=-1时,
f
′
(x)=x-
1
x
,x>0,
由f′(x)>0,得
x
2
-1
x
>0
,又x>0,解得x>1,
所以函数f(x)的单调递增区间为(1,+∞).
(2)依题意得f(x)-lnx>0,
即
1
2
x
2
+alnx-lnx>0(x>1)
,
∴
(a-1)lnx>-
1
2
x
2
∵x>1,∴lnx>0
∴
a-1>
-
1
2
x
2
lnx
,
∴
a-1>(
-
1
2
x
2
lnx
)
max
,
设
g(x)>
-
1
2
x
2
lnx
,
g
′
(x)>
-xlnx+
1
2
x
(lnx
)
2
,
令g′(x)=0,解得x=
e
1
2
,
当
1<x<
e
1
2
时,g′(x)>0,g(x)在(0,
e
1
2
)上单调递增;
当
x>
e
1
2
时,g′(x)<0,g(x)在(
e
1
2
,+∞)上单调递减;
∴
g(x
)
max
=g(
e
1
2
)=-e
∴a-1>-e,即a>1-e.
故实数a的取值范围是(1-e,+∞).
举一反三
已知函数f(x)=x
3
+bx
2
+cx+d(b≠0)在x=0处取到极值2.
(Ⅰ)分别求c,d的值;
(Ⅱ)试研究曲线y=f(x)的所有切线中与直线
y=
1
b
x+1
的垂直的条数.
题型:不详
难度:
|
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函数f(x)=(1-x)
5
+(1+x)
5
的单调减区间为( )
A.(-∞,0]
B.[0,+∞)
C.(-∞,1)
D.(-∞,+∞)
题型:不详
难度:
|
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已知函数f(x)=
1
2
x
2
+(
3
4
a
2
+
1
2a
) 1nx-2ax
(1)当
a=-
1
2
时,求f(x)的极值点;
(2)若f(x)在f′(x)的单调区间上也是单调的,求实数a的范围.
题型:不详
难度:
|
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已知函数f(x)=ln(2ax+1)+
x
3
3
-x
2
-2ax(a∈R).
(1)当a=
1
2
时,求函数f(x)的极值点;
(2)若y=f(x)在[3,+∞)上为增函数,求实数a的取值范围.
题型:不详
难度:
|
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若函数f(x)=ax
3
+x,
(1)求实数a的取值范围,使f(x)在R上是增函数.
(2)求实数a的取值范围,使f(x)恰好有三个单调区间.
题型:不详
难度:
|
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