若f(x)=ax+ax-3lnx在区间[1，2]上为单调函数，则a的取值范围是______．

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若f(x)=ax+

-3lnx在区间[1，2]上为单调函数，则a的取值范围是______．

答案

由f(x)=ax+

-3lnx，得：f′(x)=a-

ax2-3x-a

，
令g（x）=ax²-3x-a，
因为f(x)=ax+

-3lnx在区间[1，2]上为单调函数，
则f^′（x）在（1，2）上恒大于等于0或恒小于等于0，
即g（x）=ax²-3x-a在（1，2）上恒大于等于0或恒小于等于0，
也就是g（1）•g（2）≥0恒成立，
即（a-3-a）（4a-6-a）≥0，解得a≤2．
故答案为a≤2．

举一反三

设函数f（x）=alnx-x，其中a∈R，且a≠0．
（Ⅰ）当a=2时，求函数f（x）在区间[1，e]上的最小值；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间．

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已知向量

=（e^x+

，-x），

=（1，t），若函数f（x）=

•

在区间（-1，1）上存在增区间，则t 的取值范围为______．

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已知函数f(x)=

-x3+x2+bx+c，x＜1

alnx，x≥1

，当x=

时，函数f（x）有极大值

．
（Ⅰ）求实数b、c的值；
（Ⅱ）若存在x₀∈[-1，2]，使得f（x₀）≥3a-7成立，求实数a的取值范围．

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请考生注意：重点高中学生做（2）（3）．一般高中学生只做（1）（2）．
已知函数f(x)=(1-a)x-lnx-

-1(a∈R)
（1）若曲线y=f（x）在x=1和x=3处的切线互相平行，求a的值；
（2）当a＞0时，讨论f（x）的单调性；
（3）当a=

时，设g（x）=x²-bx+1，若对任意x₁∈（0，2]，都存在x₂∈（0，2]，都存在x₂∈[1，2]使f（x₁）≤g（x₂），求实数b的取值范围．

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定义在R上的函数f（x）=ax³+bx²+cx+3同时满足以下条件：①f（x）在（0，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数；②f′（x）是偶函数；
③f（x）在x=0处的切线与直线y=x+2垂直．
（Ⅰ）求函数y=f（x）的解析式；
（Ⅱ）设g(x)=lnx-

，若存在x∈[1，e]，使g（x）＜f′（x），求实数m的取值范围．

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