已知函数f（x）=12x2+2ax，g（x）=3a2Inx+b，（Ⅰ）设两曲线y=f（x）与y=g（x）有公共点，且在公共点处的切线相同，若a＞0，试建立b关于

题型：不详难度：来源：

已知函数f（x）=

1

2

x²+2ax，g（x）=3a²Inx+b，
（Ⅰ）设两曲线y=f（x）与y=g（x）有公共点，且在公共点处的切线相同，若a＞0，试建立b关于a的函数关系式；
（Ⅱ）若b=0，h（x）=f（x）+g（x）-（2a+6）x在（0，4）上为单调函数，求a的取值范围．

答案

（I）设y=f（x）与y=g（x）（x＞0）在公共点（x₀，y₀）处的切线相同．
f′（x）=x+2a，g′（x）=

3a2

x

．
由题意知f（x₀）=g（x₀），f′（x₀）=g′（x₀）
即

1 2 x 20 +2ax0=3a2lnx0+b x0+2a= 3a2 x0

，
解得x₀=a或x₀=-3a（舍去），
b=

5a2

2

-3a²lna（a＞0）
（II）h（x）=

1

2

x²+3a²lnx-6x，h′（x）=x+

3a2

x

-6
要使h（x）在（0，4）上单调，
须h′（x）=x+

3a2

x

-6≤0或h′（x）=x+

3a2

x

-6≥0在（0，4）上恒成立．
h′（x）=x+

3a2

x

-6≤0在（0，4）上恒成立
⇔3a²≤-x²+6x在（0，4）上恒成立．
而-x²+6x＞0，且-x²+6x可为足够小的正数，必有a=0
或h′（x）=x+

3a2

x

-6≥0在（0，4）上恒成立
⇔3a²≥（-x²+6x）_max=9，得a≥

3

或a≤-

3

．
综上，所求a的取值范围为a≥

3

或a≤-

3

或a=0．