设a∈R，函数f（x）=ax3-2x2-4ax，（1）若x=2是函数y=f（x）的极值点，求函数f（x）在区间[-1，5]上的最值．（2）是否存在实数a，使得函
题型：不详难度：来源：
设a∈R，函数f（x）=ax3-2x2-4ax，
（1）若x=2是函数y=f（x）的极值点，求函数f（x）在区间[-1，5]上的最值．
（2）是否存在实数a，使得函数f（x）在R上为单调函数，若是，求实数a的取值范围；若不是，请说明理由． |
答案
（1）函数的导数f"（x）=3ax2-4x-4a，
因为x=2是函数y=f（x）的极值点，
所以f"（2）=12a-8-4a=0，
即8a-8=0，所以a=1．
所以f"（x）=3x2-4x-4=（3x+2）（x-2），
由f"（x）＞0得，-1＜x＜-或2＜x＜5，此时函数单调递增．
由f"（x）＜0得，-＜x＜2，此时函数单调递减．
所以当x=-时，函数取得极大值，当x=2时，函数取得极小值．
又f(-1)=1，f(-)=，f(2)=-8，f(5)=55，
所以最大值为55，最小值为-8．
（2）若a=0，则f（x）=-2x2，在R上不单调，所以a=0不成立．
若a≠0，则导数f"（x）=3ax2-4x-4a，对应的判别式△=16+48a2＞0恒成立．
所以不存在实数a，使得函数f（x）在R上为单调函数． |
举一反三
已知函数f（x）=x•ex，g（x）=-x2-2x+m．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若f（x）与g（x）的图象恰有两个交点，求实数m的取值范围． |
f（x）是定义在（0，+∞）上的可导函数，且满足xf′（x）-f（x）＞0，对任意的正数a、b，若a＞b，则必有（ ）| A．af（b）＜bf（a） | B．bf（a）＜af（b） | C．af（a）＜bf（b） | D．bf（b）＜af（a） |
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设f(x)=x3-(a+1)x2+3ax+1．
（Ⅰ）若函数f（x）在区间（1，4）内单调递减，求a的取值范围；
（Ⅱ）若函数f（x）在x=a处取得极小值是1，求a的值，并说明在区间（1，4）内函数f（x）的单调性． |
已知函数f（x）=ax3+bx2+2x在x=-1处取得极值，且在点（1，f（1）处的切线的斜率为2．
（Ⅰ）求a，b的值：
（Ⅱ）若关于x的方程f（x）+x3-2x2-x+m=0在[，2]上恰有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围． |
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