(Ⅰ)因为f′(x)=(2x-3)ex+(x2-3x+3)ex, 由f′(x)>0⇒x>1或x<0, 由f′(x)<0⇒0<x<1, ∴函数f(x)在(-∞,0),(1,+∞)上单调递增,在(0,1)上单调递减, ∵函数f(x)在[-2,t]上为单调函数, ∴-2<t≤0, (Ⅱ)证:因为函数f(x)在(-∞,0)∪(1,+∞)上单调递增,在(0,1)上单调递减, 所以f(x)在x=1处取得极小值e, 又f(-2)=13e-2<e, 所以f(x)在[2,+∞)上的最小值为f(-2), 从而当t>-2时,f(-2)<f(t), 即m<n, (Ⅲ)证:因为-x0, ∴=(t-1)2, 即为x02-x0=(t-1)2, 令g(x)=x2-x-(t-1)2, 从而问题转化为证明方程g(x)=x2-x-(t-1)2=0在(-2,t)上有解并讨论解的个数, 因为g(-2)=6-(t-1)2=-(t-4)(t+2), g(t)=t(t-1)-(t-1)2=(t+2)(t-1), 所以当t>4或-2<t<1时,g(-2)•g(t)<0, 所以g(x)=0在(-2,t)上有解,且只有一解, 当1<t<4时,g(-2)>0且g(t)>0, 但由于g(0)=-(t-1)2<0, 所以g(x)=0在(-2,t)上有解,且有两解, 当t=1时,g(x)=x2-x=0, 解得x=0或1, 所以g(x)=0在(-2,t)上有且只有一解, 当t=4时,g(x)=x2-x-6=0, 所以g(x)=0在(-2,t)上也有且只有一解, 综上所述,对于任意的t>-2,总存在x0∈(-2,t),满足=(t-1)2, 且当t≥4或-2<t≤1时,有唯一的x0适合题意, 当1<t<4时,有两个x0适合题意. |