(1)f´(x)=x2-2mx-1, 由f´(x)≥0,得x≤m-,或x≥m+; 故函数f(x)的单调增区间为(-∞,m-),(m+,+∞),减区间(m-,m+). (2)“对任意的x1,x2∈[-1,1],都有|f′(x1)-f′(x2)|≤4”等价于“函数y=f´(x),x∈[-1,1]的最大值与最小值的差小于等于4”. 对于f´(x)=x2-2mx-1,对称轴x=m. ①当m<-1时,f´(x)的最大值为f´(1),最小值为f´(-1),由 f´(1)-f´(-1)≤4,即-4m≤4,解得m≥-1,舍去; ②当-1≤m≤1时,f´(x)的最大值为f´(1)或f´(-1),最小值为f´(m),由 | f´(1)-f´(m)≤4 | f´(-1)-f´(m)≤4 |
| | ,即,解得-1≤m≤1; ③当m>1时,f´(x)的最大值为f´(-1),最小值为f´(1),由 f´(-1)-f´(1)≤4,即4m≤4,解得m≤1,舍去; 综上,实数m的取值范围是[-1,1]. (3)由f´(x)=0,得x2-2mx-1=0, 因为△=4m2+4>0,所以y=f(x)既有极大值也有极小值. 设f´(x0)=0,即x02-2mx0-1=0, 则f (x0)=x03-mx02-x0+m=-mx02-x0+m=-x0(m2+1), 由(1)知:极大值f(m-)=-(m-)(m2+1)>0, 极小值f(m+)=-(m+)(m2+1)<0, 故函数f(x)有三个零点. |