(Ⅰ)当a=-时,f(x)=-(x-1)2+lnx+1=-x2+x+lnx+(x>0), 所以f′(x)=-x++=-(x>0), 由f"(x)>0解得0<x<2;由f"(x)<0解得x>2, 故当0<x<2时,f(x)的单调递增;当x>2时,f(x)单调递减, ∴当x=2时,函数f(x)取得极大值f(2)=+ln2.(4分) (Ⅱ)f′(x)=2a(x-1)+,∵函数f(x)在区间[2,4]上单调递减, ∴导数f′(x)=2a(x-1)+≤0在区间[2,4]上恒成立, 即2a≤在[2,4]上恒成立,只需2a不大于在[2,4]上的最小值即可.(6分) 而=(2≤x≤4),则当2≤x≤4时,∈[-,-], ∴2a≤-,即a≤-,故实数a的取值范围是(-∞,-].(8分) (Ⅲ)因f(x)图象上的点在所表示的平面区域内, 即当x∈[1,+∞)时,不等式f(x)≤x恒成立,即a(x-1)2+lnx-x+1≤0恒成立, 设g(x)=a(x-1)2+lnx-x+1(x≥1),只需g(x)max≤0即可.(9分) 由g′(x)=2a(x-1)+-1=, (ⅰ)当a=0时,g′(x)=,当x>1时,g"(x)<0,函数g(x)在(1,+∞)上单调递减,故g(x)≤g(1)=0成立.(10分) (ⅱ)当a>0时,由g′(x)==,令g"(x)=0,得x1=1或x2=, ①若<1,即a>时,在区间(1,+∞)上,g"(x)>0,函数g(x)在(1,+∞)上单调递增,函数g(x)在[1,+∞)上无最大值,不满足条件; ②若≥1,即0<a≤时,函数g(x)在(1,)上单调递减,在区间(,+∞)上单调递增,同样g(x)在[1,+∞)上无最大值,不满足条件.(12分) (ⅲ)当a<0时,由g′(x)=,因x∈(1,+∞),故g"(x)<0,则函数g(x)在(1,+∞)上单调递减,故g(x)≤g(1)=0成立. 综上所述,实数a的取值范围是(-∞,0].(14分) |