已知函数f(x)=x2-ax-aln(x-1)(a∈R)(1)当a=1时,求函数f(x)的最值;(2)求函数f(x)的单调区间.
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已知函数f(x)=x2-ax-aln(x-1)(a∈R) (1)当a=1时,求函数f(x)的最值; (2)求函数f(x)的单调区间. |
答案
(1)函数f(x)=x2-ax-aln(x-1)(a∈R)的定义域是(1,+∞) 当a=1时,f(x)=x2-x-ln(x-1), f′(x)=2x-1-=, 当x∈(1,)时,f′(x)<0, 所以f (x)在(1,)为减函数. 当x∈(,+∞)时,f′(x)>0, 所以f (x)在(,+∞)为增函数, 则当x=时,f(x)有极小值,也就是最小值. 所以函数f (x)的最小值为f()=+ln2. (2)f′(x)=2x-a-=, 若a≤0时,则≤1,f(x)=>0在(1,+∞)恒成立, 所以f(x)的增区间为(1,+∞). 若a>0,则>1,故当x∈(1,],f′(x)=≤0, 当x∈[,+∞)时,f(x)=≥0, 所以a>0时f(x)的减区间为(1,],f(x)的增区间为[,+∞). |
举一反三
设函数f(x)=xlnx(x>0). (1)求函数f(x)的最小值; (2)设F(x)=ax2+f′(x)(a∈R),讨论函数F(x)的单调性. |
设函数f(x)=xlnx(x>0). (1)求函数f(x)的最小值; (2)设F(x)=ax2+f′(x)(a∈R),讨论函数F(x)的单调性; (3)斜率为k的直线与曲线y=f′(x)交于A(x1,y1)、B(x2,y2)(x1<x2)两点,求证:x1<<x2. |
已知函数g(x)=+lnx,f(x)=mx--lnx(m∈R). (Ⅰ)若y=f(x)-g(x)在[1,+∞)上为单调函数,求m的取值范围; (Ⅱ)设h(x)=,若在[1,e]上至少存在一个x0,使得f(x0)-g(x0)>h(x0)成立,求m的取值范围. |
已知函数f(x)=axlnx,g(x)=-x2+(a+1)x,其中a∈R. (1)令h(x)=-g(x),试讨论函数f(x)的单调区间; (2)若对任意的e<x1<x2<e2,总有f(x1)-f(x2)<g(x1)-g(x2)成立,试求实数a的取值范围.(其中e是自然对数的底数) |
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