已知函数g(x)=1x+lnx,f(x)=mx-m-1x-lnx(m∈R).(Ⅰ)若y=f(x)-g(x)在[1,+∞)上为单调函数,求m的取值范围;(Ⅱ)设h
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已知函数g(x)=1x+lnx,f(x)=mx-m-1x-lnx(m∈R).(Ⅰ)若y=f(x)-g(x)在[1,+∞)上为单调函数,求m的取值范围;(Ⅱ)设h
题型:不详
难度:
来源:
已知函数
g(x)=
1
x
+lnx
,
f(x)=mx-
m-1
x
-lnx(m∈R)
.
(Ⅰ)若y=f(x)-g(x)在[1,+∞)上为单调函数,求m的取值范围;
(Ⅱ)设
h(x)=
2e
x
,若在[1,e]上至少存在一个x
0
,使得f(x
0
)-g(x
0
)>h(x
0
)成立,求m的取值范围.
答案
(Ⅰ)y=f(x)-g(x)=mx-
m
x
-2lnx,y′=
m
x
2
-2x+m
x
2
,
由于y=f(x)-g(x)在其定义域内为单调函数,则mx
2
-2x+m≥0或者mx
2
-2x+m≤0在[1,+∞)上恒成立,
即m
≥
2x
x
2
+1
或者m
≤
2x
x
2
+1
在[1,+∞)上恒成立,
而0<
2x
x
2
+1
=
2
x+
1
x
≤1,故m≥1或者m≤0,
综上,m的取值范围是(-∞,0]∪[1,+∞).
(Ⅱ)构造函数F(x)=f(x)-g(x)-h(x),F(x)=mx-
m
x
-2lnx-
2e
x
,
①当m≤0时,由x∈[1,e]得,mx-
m
x
≤0,-2lnx-
2e
x
<0,
所以在[1,e]上不存在一个x
0
,使得f(x
0
)-g(x
0
)>h(x
0
);
②当m>0时,F′(x)=m+
m
x
2
-
2
x
+
2e
x
2
=
m
x
2
-2x+m+2e
x
2
,
因为x∈[1,e],所以2e-2x≥0,mx
2
+m>0,所以F′(x)>0在[1,+∞)上恒成立,故F(x)在x∈[1,e]上单调递增,
F(x)
max
=me-
m
e
-4,只要me-
m
e
-4>0,解得m>
4e
e
2
-1
,
故m的取值范围是(
4e
e
2
-1
,+∞).
举一反三
已知函数f(x)=axlnx,
g(x)=-
1
2
x
2
+(a+1)x
,其中a∈R.
(1)令
h(x)=
f(x)
x
-g(x)
,试讨论函数f(x)的单调区间;
(2)若对任意的
e<
x
1
<
x
2
<
e
2
,总有f(x
1
)-f(x
2
)<g(x
1
)-g(x
2
)成立,试求实数a的取值范围.(其中e是自然对数的底数)
题型:不详
难度:
|
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已知函数
f(x)=
1
2
a
x
2
-(2a+1)x+2lnx(
1
2
<a<1)
.
(I)求函数f(x)的单调区间;
(Ⅱ)函数f(x)在区间[1,2]上是否有零点,若有,求出零点,若没有,请说明理由;
(Ⅲ)若任意的x
1
,x
2
∈(1,2)且x
1
≠x
2
,证明:
|f(
x
2
)-f(
x
1
)|<
1
2
.(注:ln2≈0.693)
题型:不详
难度:
|
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已知函数f(x)=ax
3
+bx(x∈R),
(1)若函数f(x)的图象在点x=3处的切线与直线24x-y+1=0平行,函数f(x)在x=1处取得极值,求函数f(x)的解析式,并确定函数的单调递减区间;
(2)若a=1,且函数f(x)在[-1,1]上是减函数,求b的取值范围.
题型:不详
难度:
|
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已知函数f(x)=(x
2
-3x+3)•e
x
定义域为[-2,t](t>-2),设f(-2)=m,f(t)=n.
(Ⅰ)试确定t的取值范围,使得函数f(x)在[-2,t]上为单调函数;
(Ⅱ)求证:n>m;
(Ⅲ)求证:对于任意的t>-2,总存x
0
∈(-2,t),满足
f′(
x
0
)
e
x
0
=
2
3
(t-1
)
2
,并确定这样的x
0
的个数.
题型:宁波模拟
难度:
|
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设函数f(x)=-x
3
+3x+2分别在x
1
、x
2
处取得极小值、极大值.xOy平面上点A、B的坐标分别为(x
1
,f(x
1
))、(x
2
,f(x
2
)),该平面上动点P(x,y),Q(mx,2y),
OC
=
OQ
+m
OA
满足
AP
•
OC
=1-m
.
(1)求点A、B的坐标;
(2)求动点P的轨迹方程,并判断轨迹的形状.
题型:不详
难度:
|
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