已知函数f(x)=12ax2-(2a+1)x+2lnx(12<a<1).(I)求函数f(x)的单调区间;(Ⅱ)函数f(x)在区间[1,2]上是否有零点,若有,求

已知函数f(x)=12ax2-(2a+1)x+2lnx(12<a<1).(I)求函数f(x)的单调区间;(Ⅱ)函数f(x)在区间[1,2]上是否有零点,若有,求

题型:不详难度:来源:
已知函数f(x)=
1
2
ax2-(2a+1)x+2lnx(
1
2
<a<1)

(I)求函数f(x)的单调区间;
(Ⅱ)函数f(x)在区间[1,2]上是否有零点,若有,求出零点,若没有,请说明理由;
(Ⅲ)若任意的x1,x2∈(1,2)且x1≠x2,证明:|f(x2)-f(x1)|<
1
2
.(注:ln2≈0.693)
答案
f′(x)=ax-(2a+1)+
2
x
(x>0).
(Ⅰ) f′(x)=
(ax-1)(x-2)
x
(x>0).(2分)
1
2
<a<1
,∴1<
1
a
<2

∴在区间(0,
1
a
)
和(2,+∞)上,f′(x)>0;在区间(
1
a
,2)
上f′(x)<0,
故f(x)的单调递增区间是(0,
1
a
)
和(2,+∞),单调递减区间是(
1
a
,2)
.(4分)
(Ⅱ)先求f(x)在x∈[1,2]的最大值.
由(Ⅰ)可知,当
1
2
<a<1
时,f(x)在[1,
1
a
]
上单调递增,在[
1
a
,2]
上单调递减,故f(x)max=f(
1
a
)=-2-
1
2a
-2lna
.(6分)
a>
1
2
可知lna>ln
1
2
>ln
1
e
=-1
,所以2lna>-2,所以-2lna<2,
所以,-2-2lna<0,所以f(x)max<0,
故不存在符合条件的a,使得f(x)=0.(8分)
(Ⅲ)证明一:当
1
2
<a<1
时,f(x)在[1,
1
a
]
上单调递增,在[
1
a
,2]
上单调递减,
只需证明f(
1
a
)-f(1)<
1
2
f(
1
a
)-f(2)<
1
2
都成立,即可得证命题成立.(10分)        
 f(
1
a
)-f(1)=
3a
2
-
1
2a
-1-2lna
,设g(a)=
3a
2
-
1
2a
-1-2lna
g′(a)=
(3a-1)(a-1)
2a2
<0

∴g(a)在(
1
2
,1)
上是减函数,g(a)<g(
1
2
)=2ln2-
5
4
1
2

f(
1
a
)-f(2)=2a-
1
2a
-2ln2a
,设h(a)=2a-
1
2a
-2ln2a
h′(a)=
(2a-1)2
2a2
>0

∴h(a)在(
1
2
,1)
上是增函数,h(a)<h(1)=
3
2
-2ln2=
1
2
+1-ln4<
1
2

综上述命题成立.(12分)    
证明二:当
1
2
<a<1
时,f′(x)=ax+
2
x
-(2a+1)
,x∈(1,2)f′(x)在(1,


2
a
)
上单调递减,在(


2
a
,2)
上单调递增,f′(1)=1-a>0,f′(2)=0,f′(


2
a
)=-2a+2


2a
-1=-2(


a
-


2
2
)2

1
2
<a<1

0<f′(1)<
1
2
|f′(


2
a
)|<3-2


2
=
1
3+2


2
1
2
.(10分)
由导数的几何意义,有对任意x1,x2∈(1,2),x1≠x2|f(x2)-f(x1)|≤|
f(x2)-f(x1)
x2-x1
|<|f′max(x)|<
1
2
.(12分)
举一反三
已知函数f(x)=ax3+bx(x∈R),
(1)若函数f(x)的图象在点x=3处的切线与直线24x-y+1=0平行,函数f(x)在x=1处取得极值,求函数f(x)的解析式,并确定函数的单调递减区间;
(2)若a=1,且函数f(x)在[-1,1]上是减函数,求b的取值范围.
题型:不详难度:| 查看答案
已知函数f(x)=(x2-3x+3)•ex定义域为[-2,t](t>-2),设f(-2)=m,f(t)=n.
(Ⅰ)试确定t的取值范围,使得函数f(x)在[-2,t]上为单调函数;
(Ⅱ)求证:n>m;
(Ⅲ)求证:对于任意的t>-2,总存x0∈(-2,t),满足
f′(x0)
ex0
=
2
3
(t-1)2
,并确定这样的x0的个数.
题型:宁波模拟难度:| 查看答案
设函数f(x)=-x3+3x+2分别在x1、x2处取得极小值、极大值.xOy平面上点A、B的坐标分别为(x1,f(x1))、(x2,f(x2)),该平面上动点P(x,y),Q(mx,2y),


OC
=


OQ
+m


OA
满足


AP


OC
=1-m

(1)求点A、B的坐标;
(2)求动点P的轨迹方程,并判断轨迹的形状.
题型:不详难度:| 查看答案
已知函数f(x)=kx3+3(k-1)x2-k2+1(k>0)的单调递减区间是(0,4),则k的值是______.
题型:黄冈模拟难度:| 查看答案
已知函数f(x)(x∈R)满足f(1)=1,且f(x)在R上的导数f′(x)<
1
2
,则不等式f(lgx)<
lgx+1
2
的解集为 ______.
题型:如皋市模拟难度:| 查看答案
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