已知函数f（x）=ax3+bx（x∈R），（1）若函数f（x）的图象在点x=3处的切线与直线24x-y+1=0平行，函数f（x）在x=1处取得极值，求函数f（x
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已知函数f（x）=ax3+bx（x∈R），
（1）若函数f（x）的图象在点x=3处的切线与直线24x-y+1=0平行，函数f（x）在x=1处取得极值，求函数f（x）的解析式，并确定函数的单调递减区间；
（2）若a=1，且函数f（x）在[-1，1]上是减函数，求b的取值范围． |
答案
（1）已知函数f（x）=ax3+bx（x∈R），∴f′（x）=3ax2+b
又函数f（x）图象在点x=3处的切线与直线24x-y+1=0平行，
且函数f（x）在x=1处取得极值，∴f′（3）=27a+b=24，
且f′（1）=3a+b=0，解得a=1，b=-3
∴f（x）=x3-3x
令f′（x）=3x2-3≤0得：-1≤x≤1，所以函数的单调递减区间为[-1，1]
（2）当a=1时，f（x）=x3+bx（x∈R），又函数f（x）在[-1，1]上是减函数
∴f′（x）=3x2+b≤0在[-1，1]上恒成立
即b≤-3x2在[-1，1]上恒成立∴b≤-3
当b=-3时，f′（x）不恒为0，∴b≤-3 |
举一反三
已知函数f（x）=（x2-3x+3）•ex定义域为[-2，t]（t＞-2），设f（-2）=m，f（t）=n．
（Ⅰ）试确定t的取值范围，使得函数f（x）在[-2，t]上为单调函数；
（Ⅱ）求证：n＞m；
（Ⅲ）求证：对于任意的t＞-2，总存x0∈（-2，t），满足=(t-1)2，并确定这样的x0的个数． |
设函数f（x）=-x3+3x+2分别在x1、x2处取得极小值、极大值．xOy平面上点A、B的坐标分别为（x1，f（x1））、（x2，f（x2）），该平面上动点P（x，y），Q（mx，2y），=+m满足•=1-m．
（1）求点A、B的坐标；
（2）求动点P的轨迹方程，并判断轨迹的形状． |
| 已知函数f（x）=kx3+3（k-1）x2-k2+1（k＞0）的单调递减区间是（0，4），则k的值是______． |
| 已知函数f（x）（x∈R）满足f（1）=1，且f（x）在R上的导数f′(x)＜，则不等式f(lgx)＜的解集为 ______． |
已知函数f（x）=xlnx．
（1）求函数f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值；
（2）证明：对一切x∈（0，+∞），都有f(x)＞-成立． |
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