(1)根据对数的运算法则,得 f(x)=loga(1+x)-loga(1-x)=log a(-1<x<1) 令t=,得t/==>0 故t在区间(-1,1)上是关于x的单调增函数, 不等式|f(x)|<2的解集为(-,),分两种情况加以讨论: ①当a>1时,f(-) =-2且f() =2 ∴loga-loga=-2⇒loga=-2⇒a= ②当0<a<1时,f(-) =2且f() =-2,类似①的方法可得a= 综上所述,得实数a的值为或; (2)∵f(x)=log a⇒x= ∴f-1(x)==1- ∵1+ax>1 ∴1-∈(-1,1) 欲使关于x的不等式f-1(x)<m(m∈R)有解,m必须大于f-1(x)的最小值,所以m≥-1 故m的取值范围是[-1,+∞). (3)由(2)得f-1(1)==⇒a=2, 对于关于x的不等式f-1(x)<m,由(2)知的f-1(x)的值域为(-1,1) 故分3种情形加以讨论: ①当m≥1时,有f-1(x)<1≤m,所以f-1(x)<m恒成立,得不等式的解集是R; ②当-1<m<1,f-1(x)<m⇒1-<m⇒2x<⇒x<log2 ∴不等式的解集是x∈(-∞,log2) 由(2)知不等式f-1(x)<m的解集是空集. 综上所述:当m≤-1时原不等式的解集是空集,当-1<m<1时原不等式的解集是x∈(-∞,log2);当m≥1时,原不等式的解集是R. |