(1)已知a=(2x-y+1,x+y-2),b=(2,-2),①当x、y为何值时,a与b共线?②是否存在实数x、y,使得a⊥b,且|a|=|b|?若存在,求出x

(1)已知a=(2x-y+1,x+y-2),b=(2,-2),①当x、y为何值时,a与b共线?②是否存在实数x、y,使得a⊥b,且|a|=|b|?若存在,求出x

题型:不详难度:来源:
(1)已知


a
=(2x-y+1,x+y-2),


b
=(2,-2),①当x、y为何值时,


a


b
共线?②是否存在实数x、y,使得


a


b
,且|


a
|=|


b
|?若存在,求出xy的值;若不存在,说明理由.
(2)设


i


j
是两个单位向量,其夹角是90°,


a
=


i
+2


j


b
=-3


i
+


j
,若(k


a
-


b
)⊥(


a
+k


b
)
,求实数k的值.
答案
(1)①∵


a


b
共线,
∴存在非零实数λ使得


a


b






2x-y+1=2λ
x+y-2=-2λ

∴x=
1
3
,y∈R;
②由


a


b
得,(2x-y+1)×2+(x+y-2)×(-2)=0
所以x-2y+3=0.(i)
由|


a
|=|


b
|得,(2x-y+1)2+(x+y-2)2=8.(ii)
解(i)(ii)得





x=-1
y=1





x=
5
3
y=
7
3

(2)由题意,|


a
|=




a
2
=


(


i
+2


j
)
2
=


5
,①|


b
|=




b
2
=


(-3


i
+


j
)
2
=


10
,②


a


b
=(


i
+2


j
)(-3


i
+


j
)=-1
③…(10分)
(k


a
-


b
)⊥(


a
+k


b
)

(k


a
-


b
)•(


a
+k


b
)=0
,得,k|


a
|2-k|


b
|2+(k2-1)


a


b
=0

将①②③代入得:k2+5k-1=0,…(12分)
解得k=
-5±


29
2
…(14分)
举一反三
在四边形ABCD中,|


AD
|=12,|


CD
|=5,|


AB
|=10,|


DA
+


DC
|=|


AC
|,


AB


AC
方向上的投影为8;
(1)求∠BAD的正弦值;
(2)求△BCD的面积.
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过点(1,2)且方向向量为(3,5)的直线的方程为(  )
A.3x-5y+7=0B.5x-3y+1=0C.3x-5y-1=0D.5x-3y-7=0
题型:不详难度:| 查看答案
平行六面体ABCDA1B1C1D1中,向量


AB


AD


AA1
两两的夹角均为60°,且|


AB
|=1,|


AD
|=2,|


AA1
|=3,则|


AC1
|等于(  )
A.5B.6C.4D.8
题型:不详难度:| 查看答案
在△ABC中,设


CB
=


a


AC
=


b
,且|


a
|=2,|


b
|=3,


a


b
=3,则AB的长为______.
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用平面向量的方法证明:三角形的三条中线交于一点.
题型:不详难度:| 查看答案
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