用平面向量的方法证明：三角形的三条中线交于一点．

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用平面向量的方法证明：三角形的三条中线交于一点．

题型：不详难度：来源：
用平面向量的方法证明：三角形的三条中线交于一点．
答案
证明：在△ABC中，设D、E、F分别为BC、AC、AB的中点，BE与AC的交点为G，
设


BA
=


e1
，


BC
=


e2
，则


CA
=


e1
-


e2
，


e1
，


e2
不共线，


AD
=


BD
-


BA
=
1
2


e2
-


e1
，
设


BG
=λ


BE
，则


AG
=


BG
-


BA
=λ


BE
-


e1
=（
λ
2
-1）


e1
+
λ
2


e2

∵


AG
，


AD
共线，∴
λ
2
-1
-1
=
λ
2
1
2
，得λ=
2
3

∴


CG
=


BG
-


BC
=
1
3


e1
-
2
3


e2

∴


CF
=


BF
-


BC
=
3
2
（
1
3


e1
-
2
3


e2
）=
3
2


CG

∴CG与CF共线，G在CF上
∴三条中线交与一点．
举一反三
设A（a，1），B（2，b），C（4，5）为坐标平面上三点，O为坐标原点，若


OA
与


OB
在


OC
方向上的投影相同，则a与b满足的关系式为（　　）
A．4a-5b=3B．5a-4b=3C．4a+5b=14D．5a+4b=14
题型：四川难度：| 查看答案
设F1、F2分别是椭圆
x2
4
+y2=1的左、右焦点，B（0，-1）．
（Ⅰ）若P是该椭圆上的一个动点，求


PF1
•


PF2
的最大值和最小值；
（Ⅱ）若C为椭圆上异于B一点，且


BF1
=λ


CF1
，求λ的值；
（Ⅲ）设P是该椭圆上的一个动点，求△PBF1的周长的最大值．
题型：不详难度：| 查看答案
过抛物线y2=4x上一点A（1，2）作抛物线的切线，分别交x轴于点B，交y轴于点D，点C（异于点A）在抛物线上，点E在线段AC上，满足


AE
=λ1


EC
；点F在线段BC上，满足


BF
=λ2


FC
，且λ1+λ2=1，线段CD与EF交于点P．
（1）设


DP
=λ


PC
，求λ；
（2）当点C在抛物线上移动时，求点P的轨迹方程．魔方格
题型：不详难度：| 查看答案
已知


a
=（x，0），


b
=（1，y），（


a
+


3


b
）⊥（


a
-


3


b
）（1）点P（x，y）的轨迹C的方程；
（2）若直线l：y=3x+m（m≠0）与曲线C交于A，B两点，D（0，-1）且|


AD
|=|


BD
|，试求m的值．
题型：不详难度：| 查看答案
已知点P为△ABC内一点，且


PA
+2


PB
+3


PC
=


0
，则△APB，△APC，△BPC的面积之比等于（　　）
A．9：4：1B．1：4：9C．3：2：1D．1：2：3
题型：楚雄州模拟难度：| 查看答案
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