设函数f(x)=xlnx(x>0).(1)求函数f(x)的最小值;(2)设F(x)=ax2+f′(x)(a∈R),讨论函数F(x)的单调性.
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设函数f(x)=xlnx(x>0). (1)求函数f(x)的最小值; (2)设F(x)=ax2+f′(x)(a∈R),讨论函数F(x)的单调性. |
答案
(1)求导函数,可得f′(x)=lnx+1(x>0),令f′(x)=0,得x=. ∵当x∈(0,)时,f′(x)<0;当x∈(,+∞)时,f′(x)>0, ∴当x=时,f(x)min=ln=-.…(6分) (2)F(x)=ax2+lnx+1(x>0),F′(x)=(x>0). ①当a≥0时,恒有F′(x)>0,F(x)在(0,+∞)上是增函数; ②当a<0时,令F′(x)>0,得2ax2+1>0,解得0<x<; 令F′(x)<0,得2ax2+1<0,解得x>. 综上,当a≥0时,F(x)在(0,+∞)上是增函数; 当a<0时,F(x)在(0,)上单调递增,在(,+∞)上单调递减.…(12分) |
举一反三
设函数f(x)=xlnx(x>0). (1)求函数f(x)的最小值; (2)设F(x)=ax2+f′(x)(a∈R),讨论函数F(x)的单调性; (3)斜率为k的直线与曲线y=f′(x)交于A(x1,y1)、B(x2,y2)(x1<x2)两点,求证:x1<<x2. |
已知函数g(x)=+lnx,f(x)=mx--lnx(m∈R). (Ⅰ)若y=f(x)-g(x)在[1,+∞)上为单调函数,求m的取值范围; (Ⅱ)设h(x)=,若在[1,e]上至少存在一个x0,使得f(x0)-g(x0)>h(x0)成立,求m的取值范围. |
已知函数f(x)=axlnx,g(x)=-x2+(a+1)x,其中a∈R. (1)令h(x)=-g(x),试讨论函数f(x)的单调区间; (2)若对任意的e<x1<x2<e2,总有f(x1)-f(x2)<g(x1)-g(x2)成立,试求实数a的取值范围.(其中e是自然对数的底数) |
已知函数f(x)=ax2-(2a+1)x+2lnx(<a<1). (I)求函数f(x)的单调区间; (Ⅱ)函数f(x)在区间[1,2]上是否有零点,若有,求出零点,若没有,请说明理由; (Ⅲ)若任意的x1,x2∈(1,2)且x1≠x2,证明:|f(x2)-f(x1)|<.(注:ln2≈0.693) |
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