设函数f(x)=ax+xlnx,g(x)=x3-x2-3.(Ⅰ)讨论函数h(x)=f(x)x的单调性;(Ⅱ)如果存在x1,x2∈[0,2],使得g(x1)-g(
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设函数f(x)=ax+xlnx,g(x)=x3-x2-3.(Ⅰ)讨论函数h(x)=f(x)x的单调性;(Ⅱ)如果存在x1,x2∈[0,2],使得g(x1)-g(
题型:天津模拟
难度:
来源:
设函数f(x)=
a
x
+xlnx
,g(x)=x
3
-x
2
-3.
(Ⅰ)讨论函数
h(x)=
f(x)
x
的单调性;
(Ⅱ)如果存在x
1
,x
2
∈[0,2],使得g(x
1
)-g(x
2
)≥M成立,求满足上述条件的最大整数M;
(Ⅲ)如果对任意的s,t
∈[
1
2
,2]
,都有f(s)≥g(t)成立,求实数a的取值范围.
答案
(Ⅰ)
h(x)=
a
x
2
+lnx
,
h′(x)=-
2a
x
3
+
1
x
=
x
2
-2a
x
3
,…(1分)
①a≤0,h"(x)≥0,函数h(x)在(0,+∞)上单调递增…(2分)
②a>0,
h′(x)≥0,x≥
2a
,函数h(x)的单调递增区间为
(
2a
,+∞)
,
h′(x)≤0,0<x≤
2a
,函数h(x)的单调递减区间为
(0,
2a
)
…(4分)
(Ⅱ)存在x
1
,x
2
∈[0,2],使得g(x
1
)-g(x
2
)≥M成立,等价于:[g(x
1
)-g(x
2
)]
max
≥M,…(5分)
考察g(x)=x
3
-x
2
-3,
g′(x)=3x(x-
2
3
)
,…(6分)
x
0
(0,
2
3
)
2
3
(
2
3
,2)
2
g′(x)
0
-
0
+
g(x)
-3
递减
极(最)小值
-
85
27
递增
1
举一反三
已知函数f(x)=a(x-1)
2
+lnx+1.
(Ⅰ)当
a=-
1
4
时,求函数f(x)的极值;
(Ⅱ)若函数f(x)在区间[2,4]上是减函数,求实数a的取值范围;
(Ⅲ)当x∈[1,+∞)时,函数y=f(x)图象上的点都在
x≥1
y-x≤0
所表示的平面区域内,求实数a的取值范围.
题型:资阳一模
难度:
|
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已知函数f(x)=(ax
2
+bx+c)e
x
且f(0)=1,f(1)=0.
(I)若f(x)在区间[0,1]上单调递减,求实数a的取值范围;
(II)当a=0时,是否存在实数m使不等式2f(x)+4xe
x
≥mx+1≥-x
2
+4x+1对任意x∈R恒成立?若存在,求出m的值,若不存在,请说明理由.
题型:泰安一模
难度:
|
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已知函数f(x)=lnx+ax
2
+bx(其中a,b)为常数且a≠0)在x=1处取得极值.
(I) 当a=1时,求f(x)的单调区间;
(II) 若f(x)在(0,e]上的最大值为1,求a的值.
题型:海淀区一模
难度:
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已知函数
f(x)=alnx+
a+1
2
x
2
+1
.
(Ⅰ)当
a=-
1
2
时,求f(x)在区间
[
1
e
,e]
上的最值;
(Ⅱ)讨论函数f(x)的单调性.
题型:自贡一模
难度:
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已知函数f(x)=x
2
-ax-aln(x-1)(a∈R)
(1)当a=1时,求函数f(x)的最值;
(2)求函数f(x)的单调区间.
题型:不详
难度:
|
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