已知函数f(x)=ax-1x-2lnx．（I）求f（x）的单调递增 区间；（II）a为何值时，函数f（x）在区间[1e，e]上有零点．

题型：不详难度：来源：

已知函数f(x)=ax-

1

x

-2lnx．
（I）求f（x）的单调递增 区间；
（II）a为何值时，函数f（x）在区间[

1

e

，e]上有零点．

答案

（I）f′（x）=

ax2-2x+1

x2

(x＞0)
令f′（x）＞0⇒ax²-2x+1＞0
①若a=0，则0＜x＜

1

2

，f（x）的递增区间是(0，

1

2

)；
②若a＜0，则△=4-4a＞0
方程ax²-2x+1=0的两根x1=

1+ 1-a

a

＜0，x2=

1- 1-a

a

＞0，
当0＜x＜

1- 1-a

a

时，＞0
∴f（x）的递增区间是(0，

1- 1-a

a

]
③若a＞0且△=4-4a＞0，即0＜a＜1时，
方程ax²-2x+1=0的两根x1=

1- 1-a

a

＞0，x2=

1+ 1-a

a

＞0，
此时f（x）的递增区间为(0，

1- 1-a

a

]和[

1+ 1-a

a

，+∞)
④若a＞0且△=4-4a≤0即a≥1时f"（x）≥0
此时的递增区间为（0，+∞）．
（II）问题等价于方程f（x）=0在[

1

e

，e]上有实根，
而f（x）=0⇔a=

1

x2

+

2lnx

x

，x∈[

1

e

，e]
令g(x)=

1

x2

+

2lnx

x

，x∈[

1

e

，e]g′(x)=

2

x3

(x-xlnx-1)
再令ϕ（x）=x-xlnx-1，则ϕ"（x）=-lnx
当0＜x＜1时，ϕ"（x）＞0，ϕ（x）↗，当x＞1时，ϕ"（x）＜0，ϕ（x）↘
∴当x=1时，ϕ（x）取得唯一的极大值也是ϕ（x）的最大值（ϕ（x））_max=ϕ（1）=0
∴当x∈（0，+∞）时，g"（x）≤0∴g（x）在（0，+∞）上单调递减
∴当x∈[

1

e

，e]时，g(x)∈[

1

e2

+

2

e

，e2-2e]
故当a∈[

1

e2

+

2

e

，e2-2e]时，函数f（x）在[

1

e

，e]上有零点．