(Ⅰ)由已知得f(x)的定义域为(0,+∞),且f′(x)=-a, 当a>0时,f(x)的单调增区间为(0,),减区间为(,+∞); 当a<0时,f(x)的单调增区间为(0,+∞),无减区间;(4分) (Ⅱ)g(x)=x3+[m-2f′(x)]=x3+(+a)x2-x,∴g"(x)=3x2+(m+2a)x-1,∵g(x)在区间(a,3)上有最值,∴g(x)在区间(a,3)上不总是单调函数, 又g′(0)=-1∴(6分) 由题意知:对任意a∈[1,2],g"(a)=3a2+(m+2a)•a-1=5a2+ma-1<0恒成立,∴m<=-5a,因为a∈[1,2],所以m<-, 对任意,a∈[1,2],g"(3)=3m+26+6a>0恒成立,∴m>-∴-<m<-(9分) (Ⅲ)令a=1此时f(x)=lnx-x-3,由(Ⅰ)知f(x)=lnx-x-3在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,∴当x∈(0,+∞)时f(x)<f(1),∴lnx<x-1对一切x∈(0,+∞)成立,∴ln(x+1)<x对一切x∈(0,+∞)成立,∵n≥2,n∈N*,则有ln(+1)<,(12分)∴ln(+1)+ln(+1)++ln(+1)<+++<+++ =(1-)+(-)++(-)=1-<1 (14分) |