已知函数f(x)=mx3+nx2(m,n∈R,m≠0),函数y=f(x)的图象在点(2,f(2))处切线与x轴平行,(1)用关于m的代数式表示n;(2)求函数f

已知函数f(x)=mx3+nx2(m,n∈R,m≠0),函数y=f(x)的图象在点(2,f(2))处切线与x轴平行,(1)用关于m的代数式表示n;(2)求函数f

题型:海淀区二模难度:来源:
已知函数f(x)=mx3+nx2(m,n∈R,m≠0),函数y=f(x)的图象在点(2,f(2))处切线与x轴平行,
(1)用关于m的代数式表示n;
(2)求函数f(x)的单调递增区间;
(3)若x1>2,记函数y=f(x)的图象在点M(x1,f(x1))处的切线l与x轴的交点为(x2,0),证明:x2≥3.
答案
(1)∵f(x)=m3x+nx2
∴f′(x)=3mx2+2nx.
由题意得:f′(2)=0,即3m+n=0,
∴n=-3m;(4分)
(2)∵n=-3m,
∴f(x)=mx3-3mx2,f′(x)=3mx2-6mx,
令f′(x)>0,
得3mx2-6mx>0,
当m>0时,∴x<0或x>2,
∴函数f(x)的单调递增区间为(-∞,0),(2,+∞),
当m<0时,函数f(x)的单调递增区间为(0,2);(8分)
(3)由(1)得:f(x)=mx3-3mx2,f′(x)=3mx2-6mx,
l:y-(mx13-3mx12)=(3mx12-6mx1)(x-x1),
令y=0,由m≠0,x1>2,则x2=
2
x21
-3x1
3(x1-2)

所以x2-3=
2
x21
-3x1
3(x1-2)
-3=
2
x21
-12x1+18
3(x1-2)
=
2(x1-3)2
3(x1-2)

∵x1>2.(x1-3)2≥0,
∴x2-3≥0,即x2≥3.(12分)
举一反三
已知平面向量


a
=(


3
,-1),


b
=(
1
2


3
2
).
(I)若存在实数k和t,使得


x
=


a
+(t2-3)


b


y
=-k


a
+


b
,且


x


y
,试求函数的关系式k=f(t);
(II)根据(I)结论,确定k=f(t)的单调区间.
题型:湖南模拟难度:| 查看答案
已知f(x)=ax3+bx2+cx,若函数在区间(-∞,-
5
3
),(1,+∞)上是增函数,在区间[-
5
3
,1]上是减函数,又f′(0)=-5,求f(x)的解析式.
题型:湖南模拟难度:| 查看答案
已知函数f(x)=ax2-ln


x+1
,g(x)=x3

(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)当a=
1
2
时,证明:对x∈(0,1)时,不等式2f(x)<g(x)成立;
(3)当n≥2,,n∈N*证明:ln
3
2
•ln
4
3
…ln
n+1
n
1
n
1
(n!)2
题型:不详难度:| 查看答案
设f(x)=-x3+ax2+bx+c(a>0),在x=1处取得极大值,且存在斜率为
4
3
的切线.
(1)求a的取值范围;
(2)若函数y=f(x)在区间[m,n]上单调递增,求|m-n}的取值范围;
(3)是否存在a的取值使得对于任意x∈(-∞,0],都有f(x)≥0.
题型:湖北模拟难度:| 查看答案
设x1,x2f(x)=
a
3
x3+
b-1
2
x2
+x(a,b∈R,a>0)的两个极值点,f′(x)为f(x)的导函数.
(Ⅰ)如果x1<2<x2<4,求f′(-2)的取值范围;
(Ⅱ)如果0<x1<2,x2-x1=2,求证:b<
1
4

(Ⅲ)如果a≥2,且x2-x1=2,x∈(x1,x2)时,函数g(x)=-f′(x)+2(x2-x)的最大值为h(a),求h(a)的最小值.
题型:东城区一模难度:| 查看答案
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