已知函数f（x）=mx3+nx2（m，n∈R，m≠0），函数y=f（x）的图象在点（2，f（2））处切线与x轴平行，（1）用关于m的代数式表示n；（2）求函数f
题型：海淀区二模难度：来源：
已知函数f（x）=mx3+nx2（m，n∈R，m≠0），函数y=f（x）的图象在点（2，f（2））处切线与x轴平行，
（1）用关于m的代数式表示n；
（2）求函数f（x）的单调递增区间；
（3）若x1＞2，记函数y=f（x）的图象在点M（x1，f（x1））处的切线l与x轴的交点为（x2，0），证明：x2≥3． |
答案
（1）∵f（x）=m3x+nx2，
∴f′（x）=3mx2+2nx．
由题意得：f′（2）=0，即3m+n=0，
∴n=-3m；（4分）
（2）∵n=-3m，
∴f（x）=mx3-3mx2，f′（x）=3mx2-6mx，
令f′（x）＞0，
得3mx2-6mx＞0，
当m＞0时，∴x＜0或x＞2，
∴函数f（x）的单调递增区间为（-∞，0），（2，+∞），
当m＜0时，函数f（x）的单调递增区间为（0，2）；（8分）
（3）由（1）得：f（x）=mx3-3mx2，f′（x）=3mx2-6mx，
l：y-（mx13-3mx12）=（3mx12-6mx1）（x-x1），
令y=0，由m≠0，x1＞2，则x2=，
所以x2-3=-3==，
∵x1＞2．（x1-3）2≥0，
∴x2-3≥0，即x2≥3．（12分） |
举一反三
已知平面向量=（，-1），=（，）．
（I）若存在实数k和t，使得=+（t2-3），=-k+，且⊥，试求函数的关系式k=f（t）；
（II）根据（I）结论，确定k=f（t）的单调区间． |
| 已知f（x）=ax3+bx2+cx，若函数在区间（-∞，-），（1，+∞）上是增函数，在区间[-，1]上是减函数，又f′（0）=-5，求f（x）的解析式． |
已知函数f(x)=ax2-ln，g(x)=x3
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）当a=时，证明：对x∈（0，1）时，不等式2f（x）＜g（x）成立；
（3）当n≥2，，n∈N*证明：ln•ln…ln＜•． |
设f（x）=-x3+ax2+bx+c（a＞0），在x=1处取得极大值，且存在斜率为的切线．
（1）求a的取值范围；
（2）若函数y=f（x）在区间[m，n]上单调递增，求|m-n}的取值范围；
（3）是否存在a的取值使得对于任意x∈（-∞，0]，都有f（x）≥0． |
设x1，x2是f(x)=x3+x2+x（a，b∈R，a＞0）的两个极值点，f′（x）为f（x）的导函数．
（Ⅰ）如果x1＜2＜x2＜4，求f′（-2）的取值范围；
（Ⅱ）如果0＜x1＜2，x2-x1=2，求证：b＜；
（Ⅲ）如果a≥2，且x2-x1=2，x∈（x1，x2）时，函数g（x）=-f′（x）+2（x2-x）的最大值为h（a），求h（a）的最小值． |
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