设函数f(x)=ax-(a+1)ln(x+1),其中a>0(I)求函数f(x)的单调区间;(II)设f(x)的最小值为g(a),证明:-1a<g(a)<0.
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设函数f(x)=ax-(a+1)ln(x+1),其中a>0(I)求函数f(x)的单调区间;(II)设f(x)的最小值为g(a),证明:-1a<g(a)<0.
题型:河南模拟
难度:
来源:
设函数f(x)=ax-(a+1)ln(x+1),其中a>0
(I)求函数f(x)的单调区间;
(II)设f(x)的最小值为g(a),证明:
-
1
a
<g(a)<0
.
答案
(Ⅰ)由已知可得函数f(x)的定义域为(-1,+∞),
而
f′(x)=
a(x-
1
a
)
x+1
,
∵a>0,x>-1,∴当
-1<x<
1
a
时,f"(x)<0,
当
x>
1
a
时,f"(x)>0,
∴函数f(x)的单调递减区间是
(-1,
1
a
)
,单调递增区间是
(
1
a
,+∞)
.
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知,f(x)的最小值
为
g(a)=f(
1
a
)=1-(a+1)ln(
1
a
+1)
,a>0.
要证明
-
1
a
<g(a)<0
,
只须证明
1
a+1
<ln(
1
a
+1)<
1
a
成立.
设
φ(x)=ln(x+1)-
x
x+1
,x∈(0,+∞).
则
φ′(x)=
1
x+1
-
1
(1+x)
2
=
x
(1+x)
2
>0
,
∴φ(x)在区间(0,+∞)上是增函数,∴φ(x)>φ(0)=0,即
ln(x+1)>
x
x+1
.
取
x=
1
a
得到
1
a+1
<ln(
1
a
+1)
成立.
设ψ(x)=ln(x+1)-x,x∈(0,+∞),同理可证ln(x+1)<x.
取
x=
1
a
得到
ln(
1
a
+1)<
1
a
成立.因此,
-
1
a
<g(a)<0
.
举一反三
已知函数f(x)=mx
3
+nx
2
(m,n∈R,m≠0),函数y=f(x)的图象在点(2,f(2))处切线与x轴平行,
(1)用关于m的代数式表示n;
(2)求函数f(x)的单调递增区间;
(3)若x
1
>2,记函数y=f(x)的图象在点M(x
1
,f(x
1
))处的切线l与x轴的交点为(x
2
,0),证明:x
2
≥3.
题型:海淀区二模
难度:
|
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已知平面向量
a
=(
3
,-1),
b
=(
1
2
,
3
2
).
(I)若存在实数k和t,使得
x
=
a
+(t
2
-3)
b
,
y
=-k
a
+
b
,且
x
⊥
y
,试求函数的关系式k=f(t);
(II)根据(I)结论,确定k=f(t)的单调区间.
题型:湖南模拟
难度:
|
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已知f(x)=ax
3
+bx
2
+cx,若函数在区间(-∞,-
5
3
),(1,+∞)上是增函数,在区间[-
5
3
,1]上是减函数,又f′(0)=-5,求f(x)的解析式.
题型:湖南模拟
难度:
|
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已知函数
f(x)=a
x
2
-ln
x+1
,g(x)=
x
3
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)当
a=
1
2
时,证明:对x∈(0,1)时,不等式2f(x)<g(x)成立;
(3)当n≥2,,n∈N
*
证明:
ln
3
2
•ln
4
3
…ln
n+1
n
<
1
n
•
1
(n!)
2
.
题型:不详
难度:
|
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设f(x)=-x
3
+ax
2
+bx+c(a>0),在x=1处取得极大值,且存在斜率为
4
3
的切线.
(1)求a的取值范围;
(2)若函数y=f(x)在区间[m,n]上单调递增,求|m-n}的取值范围;
(3)是否存在a的取值使得对于任意x∈(-∞,0],都有f(x)≥0.
题型:湖北模拟
难度:
|
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