设函数f（x）=（x-a）2lnx，a∈R，e为自然对数的底数，e=2.7182…（1）如果x=e为函数y=f（x）的极大值点，求a的值；（2）如果函数f（x）
题型：不详难度：来源：
设函数f（x）=（x-a）2lnx，a∈R，e为自然对数的底数，e=2.7182…
（1）如果x=e为函数y=f（x）的极大值点，求a的值；
（2）如果函数f（x）在x=e处的切线与坐标轴围成的三角形的面积等于2e3，求a的值；
（3）在（2）的条件下，当x∈[e，e2]时，求f（x）的最大值和最小值． |
答案
（1）求导得f"（x）=2（x-a）lnx+=（x-a）（2ln x+1-）．
因为x=e是f（x）的极值点，所以f"（e）=(e-a)(3-)=0，解得a=e或a=3e，经检验，a=3e，符合题意．（要有检验过程）
（2）f"（x）=2（x-a）lnx+，
当x=e时，f"（e）=2（e-a）+，f（e）=（e-a）2lne=（e-a）2，
所以曲线y=f（x）在x=e处的切线方程为y-（e-a）2=[2（e-a）+]（x-e），
切线与x轴、y轴的交点坐标分别为（，0），（0，-2e（e-a）），
∴所求面积为×||×|-2e(e-a)|=2e3．
解之得，a=2e．
（3）在（2）的条件a=2e下，
f（x）=（x-2e）2lnx，f"（x）=2（x-2e）lnx+，
对于x∈[e，2e]，有f"（x）＜0，∴f（x）在区间[e，2e]上为减函数．
对于x∈[2e，e2]，有f"（x）＞0，∴f（x）在区间[2e，e2]上为增函数．
∴f(x)max=f(e2)=2e2(e-2)2，f(x)min=f(2e)=0． |
举一反三
| 已知f（x）是三次函数，g（x）是一次函数，且f（x）-g（x）=-x3+2x2+3x+7，f（x）在x=1处有极值2，求f（x）的解析式和单调区间． |
设函数f（x）=lnx+ln（2-x）+ax（a＞0）．
（1）当a=1时，求f（x）的单调区间．
（2）若f（x）在（0，1]上的最大值为，求a的值． |
已知函数φ(x)=，a为正常数．
（Ⅰ）若f（x）=lnx+φ（x），且a=，求函数f（x）的单调减区间；
（Ⅱ）若g（x）=|lnx|+φ（x），且对任意x1，x2∈（0，2]，x1≠x2，都有＜-1，求a的取值范围． |
已知函数f(x)=mx3-(2+)x2+4x+1
（1）若在点（-1，f（-1））处的切线与直线y=-x+8垂直，求m的值；
（2）当m≠0时，求函数f（x）的单调递增区间． |
已知函数f（x）=ax2-2x，g（x）=-（a，b∈R）
（1）当b=0时，若f（x）在（-∞，2]上单调递减，求a的取值范围；
（2）求满足下列条件的所有整数对（a，b）：存在x0，使得f（x0）是f（x）的最大值，g（x0）是g（x）的最小值． |
最新试题
热门考点