(1)∵h(x)=2x++lnx,其定义域为(0,+∞),∴h′(x)=2-+. ∵x=1是函数h(x)的极值点,∴h"(1)=0,即3-a2=0,∵a>0,∴a=. 经检验,当a=时,x=1是函数h(x)的极值点,∴a=. (2)假设存在实数a,对任意的x1,x2∈[1,e]都有f(x1)≥g(x2)成立, 等价于对任意的x1,x2∈[1,e]时,都有[f(x)]min≥[g(x)]max,当x∈[1,e]时,g′(x)=1+>0. ∴函数g(x)=x+lnx在[1,e]上是增函数.∴[g(x)]max=g(e)=e+1. ∵f′(x)=1-=,且x∈[1,e],a>0, ①当0<a<1且x∈[1,e]时,f′(x)=>0, ∴函数f(x)=x+在[1,e]上是增函数.∴[f(x)]min=f(1)=1+a2. 由1+a2≥e+1,得 a≥,又0<a<1,∴a 不合题意. ②当1≤a≤e时, 若1≤x<a,则f′(x)=<0,若a<x≤e,则f′(x)=>0. ∴函数f(x)=x+在[1,a)上是减函数,在(a,e]上是增函数. ∴[f(x)]min=f(a)=2a.2a≥e+1,得 a≥,1≤a≤e,∴≤a≤e. ③当a>e且x∈[1,e]时,f′(x)=<0, ∴函数f(x)=x+在[1,e]上是减函数.∴[f(x)]min=f(e)=e+. 由e+≥e+1,得 a≥,又a>e,∴a>e. 综上所述,存在正实数a的取值范围为 [,+∞). |