(I)因为函数f(x)=x4+x3-x2+cx有三个极值点, 所以f"(x)=x3+3x2-9x+c=0有三个互异的实根. 设g(x)=x3+3x2-9x+c,则g"(x)=3x2+6x-9=3(x+3)(x-1), 当x<-3时,g"(x)>0,g(x)在(-∞,-3)上为增函数; 当-3<x<1时,g"(x)<0,g(x)在(-3,1)上为减函数; 当x>1时,g"(x)>0,g(x)在(1,+∞)上为增函数; 所以函数g(x)在x=-3时取极大值,在x=1时取极小值. 当g(-3)≤0或g(1)≥0时,g(x)=0最多只有两个不同实根. 因为g(x)=0有三个不同实根,所以g(-3)>0且g(1)<0. 即-27+27+27+c>0,且1+3-9+c<0, 解得c>-27,且c<5,故-27<c<5. (II)由(I)的证明可知,当-27<c<5时,f(x)有三个极值点. 不妨设为x1,x2,x3(x1<x2<x3),则f"(x)=(x-x1)(x-x2)(x-x3). 所以f(x)的单调递减区间是(-∞,x1],[x2,x3] 若f(x)在区间[a,a+2]上单调递减, 则[a,a+2]⊂(-∞,x1],或[a,a+2]⊂[x2,x3], 若[a,a+2]⊂(-∞,x1],则a+2≤x1.由(I)知,x1<-3,于是a<-5. 若[a,a+2]⊂[x2,x3],则a≥x2且a+2≤x3.由(I)知,-3<x2<1. 又f"(x)=x3+3x2-9x+c,当c=-27时,f"(x)=(x-3)(x+3)2; 当c=5时,f"(x)=(x+5)(x-1)2. 因此,当-27<c<5时,1<x3<3.所以a>-3,且a+2≤3. 即-3<a<1.故a<-5,或-3<a<1.反之,当a<-5,或-3<a<1时, 总可找到c∈(-27,5),使函数f(x)在区间[a,a+2]上单调递减. 综上所述,a的取值范围是(-∞,-5)∪(-3,1). |